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初三数学提高班 2012、9、14 初三 班 学号 姓名 一、两个基本图形 1、如图,梯形ABCD中,AD/BC,A=90,E在AB上,DEEC. 求证:ADEBCE2、在ABC中,AB=AC,D为BC中点,将一个与B相等的角的顶点放在D处,角的两边与直线AB、AC分别相交于点E、F.求证:(1)BDEDEFCDF;(2)DE、DF分别平分BEF、CFE;(3)DE2=BEEF;DF2=CFEF二、几个例子1、如图,将矩形ABCD以AE为折痕进行折叠,使点D落在BC边上的点F处,若AB=8,BC=10,则CE= 2、如图,在梯形ABCD中,AD/BC,A=90,E在AB上,DEDC,AD=a,AB=b,BC=2a.问在ADE、CDE、EBC中有无相似的三角形?若有,请证明;若无,求相似时a与b的数量关系. 3、如图,在梯形ABCD中,AD/BC,A=90,E在AB上,DEEC,AD+DE=AB=a,AE=m. 那么BEC的周长是否与m有关?若有关,试用含a的代数式表示BEC的周长;若无关,请说明理由.4、如图,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,P是边BC上的一个动点(与B、C不重合),PEAP. 问是否存在这样的点P,使ABP与APE相似. 若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由. 5、如图,在矩形ABCD中,AB=7cm,BC=3cm,点P从点A出发沿AB边以3cm/s的速度运动,点Q从点C出发沿CD边以1cm/s的速度运动. 如果两点同时出发,当其中一点到达B点或D点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s). (1)当t为何值时,P、Q之间的距离为5cm;(2)联结PD,当t为何值时,DPQ=90?6、如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点P是射线DA上的一个动点,将三角板的直角顶点与点P重合,三角板两直角中的一边始终经过点C,另一直角边交射线BA于点E.(1)设PD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数定义域;(2)是否存在这样的点P,使EAP周长等于PDC周长的2倍?若存在,求出PD的长;若不存在,请说明理由. 7、如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC边上一点,且BP=2,将一个大小与B相等的角的顶点放在P点,然后将这个角绕P点转动,使角的两边始终分别与AB、AC相交,交点分别为D、E,是否存在这样的位置,使得PDE为直角三角形?若存在,求出BD的长;若不存在,说明理由. 8、如图,ABAC,AB=AC=2,过点B作直线lAB. 点P是直线l上点B左侧的一个动点,联结PC交AB于E,过点C作CDPC交直线l于点D.(1)若PB=1,求PD的长;(2)在点P的移动过程中,BDE与ACE是否可能相似?若可能,求PB的长;若不能,请说明理由. 9、如图,等腰梯形ABCD中,AB/CD,AB=4,CD=2,CHAB于H,AEBC于E,F是CD上一点,FGCD交AE于G.(1)求CH的长;(2)若,求CF的长. 参考答案一、两个基本图形1、略;2、略.二、几个例子1、AF=AD=10,又AB=8,由勾股定理得BF=6,CF=4,RtABFRtCEF,得CE=3.感悟:求CE的长用相似较勾股定理方便.2、ADECDE;EBC与CDE不一定相似.下面证明ADECDE思路1、由A=B=EDC=90,想到一线三直角的基本图形. 过C作CFAD的延长线于F(如图),由RtADERtFCD, 得,得AE=,而DC=, ,又A=EDC=90, ADECDE.思路2,由AD/BC,且AD=BC,想到三角形三角形中位线定理. 延长BA、CD交于点H,由AD/BC,且AD=BC,得,知D为HC中点,又EDHC,DE是HC的垂直平分线,EH=EC,H=ECD,又H=ADE,ADE=ECD,又EAD=EDC=90,ADECDE.感悟:由AD/BC,且AD=BC,想到三角形三角形中位线定理更方便.3、BEC周长与m无关.设AD=x,由ADEEBC知,CADE=a+m,CBEC=在RtADE中,AD2+AE2=DE2,即x2+m2=(ax)2,x=,CBEC=2a.BEC周长与m无关.感悟:相似三角形的性质中,相似比等于周长比最不易想到;而相似三角形判定中,直角三角形相似的判定(即斜边、直角边分别对应成比例的两个直角三角形相似)最不易想到.今后一定要熟记.4、若ABP与APE相似,由于EPA=PBA=90,所以只有EAP=APB或EAP=PAB.若EAP=APB,则AE/BC,又AD/BC,E与D重合,由一线三直角的基本图形知,即,整理,得x2bx+a2=0,当b24a20,即b2a时,x=若EAP=PAB.则AP平分EAB,此时,AEP=APB=PEC,PE平分AEC,作PFAE于E,则CP=PF=PB,P为BC中点。即CP=b综上所述,当CP长为,ABP与APE相似.想一想:最后结论中为什么只有CP长为,而没有CP=b这种情况?5、(1)作QMAB于M,在RtPQM中,有PM2+QM2=PQ2,将PQ=5,QM=3,PM=74t,代入,并解得t=或t=,由题意t,t=时,PQ=5. (2)由一线三直角的基本图形可得,解得t=1或t=6、(1)审题时关键词“射线BA”要留心到.这样分成两种情况就很自然了.P在线段AD上时,由一线三直角的基本图形可得,即,y=x2+x(0x6).(2)存在. P在线段AD上时,易得,解得x=2,舍去.P在线段DA延长线上时,解得x=14. 当x=14时,存在这样的点P,使EAP周长等于PDC周长的2倍,此时PD的长为14.感悟:审清题意,一字一句读题,划出关键词很重要.否则就会漏掉一半解,扣掉一半分数.切切记住.7、显然BPDCEP,如果PDE为直角三角形,由DPE=B90,故只能PDE=90或DEP=90,过A作AFBC于F,则PDEABF.如果PDE=90,则可设DP=3k,那么DE=4k,PE=5k,由BDPCEP知,而PC=4,解得BD=5=AB,舍去.所以,当BD长为时,PDE为直角三角形.感悟:5、5、6也是一个基本三角形,它是由两个全等的3、4、5的直角三角形组成的,由DPE=B90,所以如果PDE为直角三角形,那只能和3、4、5的直角三角形相似,那么夹直角的两条直角边只能是3:4,再由一线三等角基本图形知BD与PC是对应边,由此写出两种情况分别解之即可. 但由于D在AB上,BD应小于AB的长,故对解得的BD长需检验,舍去不合题意的解.8、(1)过C作CFPD于F,在RtPCD中,由射影定理易求PD=.(2)如果BDEACE,由EBD=A=90,那么只能有以下两种情况:AEC=BED,AEC=PEB,PEB=BED,又EBPD,B为PD中点,即B为RtPCD斜边PD上的中点,PD=2BC=2感悟:证出B为PD中点,但想不到联结BC,B也是RtPCD斜边PD上的中点,这是第一小题仅求做出,没能认真地好好想一想.BED=ACE,ACE=EPD,EPB=BED,进而PED=90=PCD,得ED/CD,这与ED与CD相交于点D矛盾,舍去.仅当PB=2时,BDEACE.9、(1)BH=1,RtBCHRtABE,得,设CE=k,则EB=4k,k2=,CH=.(2) 延长DC、AE交于M,显然RtCEMRtFGMRtCHBRtABE.且,EM=2k,又CEMMFG,FM=2k=2=2. 又CM=k=1,CF=21=1.本题另外的解法你会吗?感悟:朱老师语录:看到面积想到:1、相似三角形的面积比等于相似比的平方.2、同底同高的两个三角形等积;同底不同高的两个三角形的面积比等于高之比;同高不同底的两个三角形的面积比等于底之比.3、一个图形的面积等于各部分面积之和.4、常用的面积公式(三角形面积公式:S=ah、平行四边形面积公式:S=ah等等,需非常熟练地滚瓜烂熟、脱口而出、倒背如流地背烂).
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