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2024届北京市丰台区高一数学第二学期期末考试模拟试题注意事项:1 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1已知,是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出下列四个结论:,则;若,则;若,则;若,则.其中正确结论的序号是ABCD2在中,则( )AB或C或D3在中,已知, .若最长边为,则最短边长为( )ABCD4函数的定义域是()ABCD5函数在的图像大致为AB CD 6在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标为( )ABCD7若等差数列和的公差均为,则下列数列中不为等差数列的是( )A(为常数)BCD8已知角的终边经过点,则=( )ABCD9在等腰梯形ABCD中,点E是线段BC的中点,若,则ABCD10在中,分别为角的对边,若的面积为,则的值为( )ABCD二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11用数学归纳法证明“”时,由不等式成立,推证时,则不等式左边增加的项数共_项12设数列的通项公式为,则_13在中,若,点,分别是,的中点,则的取值范围为_.14在中,角所对的边为,若,且的外接圆半径为,则_15设函数,则的值为_16在正数数列中,且点在直线上,则前项和等于_三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在,(单位:克)中,经统计的频率分布直方图如图所示(1)估计这组数据的平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表);(2)现按分层抽样从质量为200,250),250,300)的芒果中随机抽取5个,再从这5个中随机抽取2个,求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率;(3)某经销商来收购芒果,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表,用样本估计总体,该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个,经销商提出以下两种收购方案:方案:所有芒果以9元/千克收购;方案:对质量低于250克的芒果以2元/个收购,对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多参考数据:18如图,三棱锥中,、分别是、的中点.(1)证明:平面;(2)证明:四边形是菱形19已知,且(1)求函数的解析式;(2)当时,的最小值是,求此时函数的最大值,并求出函数取得最大值时自变量的值20已知函数满足且.(1)当时,求的表达式;(2)设,求证:;21如图,直三棱柱中,点是棱的中点,点在棱上,已知,(1)若点在棱上,且,求证:平面平面;(2)棱上是否存在一点,使得平面证 明你的结论。参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】利用面面垂直的判定定理判断;根据面面平行的判定定理判断;利用线面垂直和线面平行的性质判断;利用线面垂直和面面平行的性质判断【详解】,或,又,则成立,故正确若,或和相交,并不一定平行于,故错误若,则或,若,则并不一定平行于,故错误若,又,成立,故正确综上所述,正确的命题的序号是故选【点睛】本题主要考查了命题的真假判断和应用,解题的关键是理解线面,面面平行与垂直的判断定理和性质定理,属于基础题2、B【解析】利用正弦定理求出,然后利用三角形的内角和定理可求出.【详解】由正弦定理得,得,则或.当时,由三角形的内角和定理得;当时,由三角形的内角和定理得.因此,或.故选B.【点睛】本题考查利用正弦定理和三角形的内角和定理求角,解题时要注意大边对大角定理来判断出角的大小关系,考查计算能力,属于基础题.3、A【解析】试题分析:由,解得,同理,由,解得,在三角形中,由此可得,为最长边,为最短边,由正弦定理:,解得.考点:正弦定理.4、A【解析】利用复合函数求定义域的方法求出函数的定义域【详解】令x+(kZ),解得:x(kZ),故函数的定义域为x|x,kZ故选A【点睛】本题考查的知识要点:正切函数的性质的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型5、C【解析】由解析式研究函数的性质奇偶性、特殊函数值的正负,可选择正确的图象【详解】易知函数()是偶函数,图象关于轴对称,可排除BD,时,可排除A故选C【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象,解题方法是由解析式分析函数的性质,如单调性、奇偶性、函数的极值、最值、特殊值、函数的值的正负等等6、C【解析】纵竖坐标不变,横坐标变为相反数【详解】点关于平面对称的点的坐标为故选C【点睛】本题考查空间直角坐标系,属于基础题7、D【解析】利用等差数列的定义对选项逐一进行判断,可得出正确的选项.【详解】数列和是公差均为的等差数列,则,.对于A选项,数列(为常数)是等差数列;对于B选项,数列是等差数列;对于C选项,所以,数列是等差数列;对于D选项,不是常数,所以,数列不是等差数列.故选:D.【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式,注意等差数列定义的应用,考查推理能力,属于中等题.8、D【解析】试题分析:由题意可知x=-4,y=3,r=5,所以.故选D.考点:三角函数的概念.9、B【解析】利用平面向量的几何运算,将用和表示,根据平面向量基本定理得,的值,即可求解【详解】取AB的中点F,连CF,则四边形AFCD是平行四边形,所以,且因为,故选B【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用,其中解答中根据平面向量的基本定理,将用和进行表示,求得的值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题10、B【解析】试题分析:由已知条件及三角形面积计算公式得由余弦定理得考点:考查三角形面积计算公式及余弦定理二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】由题意有:由不等式成立,推证时,则不等式左边增加的项数共项,得解.【详解】解:当时,不等式左边为,当时,不等式左边为,则由不等式成立,推证时,则不等式左边增加的项数共项,故答案为: .【点睛】本题考查了数学归纳法,重点考查了运算能力,属基础题.12、【解析】根据数列的通项式求出前项和,再极限的思想即可解决此题。【详解】数列的通项公式为,则,则答案故为:【点睛】本题主要考查了给出数列的通项式求前项和以及极限。求数列的前常用的方法有错位相减、分组求和、列项相消等。本题主要利用了分组求和的方法。13、【解析】记,根据正弦定理得到,再由题意,得到,推出,再由题意,确定的范围,即可得出结果.【详解】记,由得,所以,即,因此,因为,分别是,的中点,所以,同理:,所以,因为且,所以,则,所以,则,所以.即的取值范围为.故答案为【点睛】本题主要考查解三角形,熟记正弦定理,以及两角和的正弦公式即可,属于常考题型.14、或.【解析】利用正弦定理求出的值,结合角的取值范围得出角的值.【详解】由正弦定理可得,所以,或,故答案为或.【点睛】本题考查正弦定理的应用,在利用正弦值求角时,除了找出锐角还要注意相应的补角是否满足题意,考查计算能力,属于基础题.15、【解析】根据反正切函数的值域,结合条件得出的值.【详解】,且,因此,故答案为:.【点睛】本题考查反正切值的求解,解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来求解,考查计算能力,属于基础题.16、【解析】在正数数列中,由点在直线上,知,所以,得到数列是首项为1,公比为2的等比数列,由此能求出前n项和,得到答案【详解】由题意,在正数数列中,且在直线上,可得,所以,即,因为,所以数列表示首项为1,公比为2的等比数列,所以,故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的定义,以及等比数列的前n项和公式的应用,同时涉及到数列与解析几何的综合运用,是一道好题解题时要认真审题,仔细解答,注意等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)255;(2);(3)选择方案获利多【解析】1)由频率分布直方图能求出这组数据的平均数(2)利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果,则质量在200,250)内的芒果有2个,记为a1,a2,质量在250,300)内的芒果有3个,记为b1,b2,b3,从抽取的5个芒果中抽取2个,利用列举法能求出这2个芒果都来自同一个质量区间的概率(3)方案收入22950元,方案:低于250克的芒果的收入为8400元,不低于250克的芒果的收入为17400元,由此能求出选择方案获利多【详解】(1)由频率分布直方图知,各区间频率为0.07,0.15,0.20,0.30,0.25,0.03这组数据的平均数(2)利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果,则质量在200,250)内的芒果有2个,记为,质量在250,300)内的芒果有3个,记为, ; 从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况:, 记事件为“这2个芒果都来自同一个质量区间”,则有4种不同组合:,从而,故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为.(3)方案收入:(元); 方案:低于250克的芒果收入为(元);不低于250克的芒果收入为(元);故方案的收入为(元)由于,所以选择方案获利多【点睛】本题考查平均数、概率的求法,考查频率分布直方图、古典概型等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题18、 (1)证明见解析;(2)证明见解析【解析】(1)根据等腰三角形的性质,证得,由此证得平面.(2)先根据三角形中位线和平行公理,证得四边形为平行四边形,再根据已知,证得,由此证得四边形是菱形.【详解】解(1)因为,是的中点,所以因为,是的中点,所以又,平面,平面所以平面(2)因为、分别是、的中点所以且同理且所以且,即四边形为平行四边形又,所
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