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2024届安徽省蚌埠市田家炳中学、五中高一下数学期末教学质量检测试题考生请注意:1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1在中,所对的边分别为,若,则( )ABC1D32为了了解所加工的一批零件的长度,抽测了其中个零件的长度,在这个工作中,个零件的长度是( )A总体B个体C样本容量D总体的一个样本3一张方桌的图案如图所示,将一颗豆子随机地扔到桌面上,假设豆子不落在线上,下列事件的概率:(1)豆子落在红色区域概率为;(2)豆子落在黄色区域概率为;(3)豆子落在绿色区域概率为;(4)豆子落在红色或绿色区域概率为;(5)豆子落在黄色或绿色区域概率为.其中正确的结论有( )A2个B3个C4个D5个4关于x的不等式的解集是,则关于x的不等式的解集是( )ABCD5已知平面平面,直线平面,直线平面,在下列说法中,若,则;若,则;若,则.正确结论的序号为( )ABCD6已知,则的值等于( )ABCD7我国古代数学名著九章算术中记载的“刍甍”(chumeng)是底面为矩形,顶部只有一条棱的五面体.如图,五面体是一个刍甍.四边形为矩形,与都是等边三角形,则此“刍甍”的表面积为( )ABCD8关于的不等式的解集中,恰有3个整数,则的取值范围是( )ABCD9将八进制数化成十进制数,其结果为( )ABCD10直线l:与圆C:交于A,B两点,则当弦AB最短时直线l的方程为ABCD二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11已知角满足,则_12已知正方体的棱长为,点、分别为、的中点,则点到平面的距离为_.13在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,b=1,则_14已知直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,则等于_.15一个社会调查机构就某地居民收入调查了10000人,并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图,现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查,则月收入在(元)内的应抽出_人.16将边长为2的正沿边上的高折成直二面角,则三棱锥的外接球的表面积为 三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等,为中点.(1)求证:平面;(2)求异面直线与所成角的余弦值.18已知圆心在直线上的圆C经过点,且与直线相切.(1)求过点P且被圆C截得的弦长等于4的直线方程;(2)过点P作两条相异的直线分别与圆C交于A,B,若直线PA,PB的倾斜角互补,试判断直线AB与OP的位置关系(O为坐标原点),并证明.19计算:(1)(2) (3)20已知等比数列的前项和为,且.(1)求的通项公式;(2)是否存在正整数,使得成立?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.21某工厂共有200名工人,已知这200名工人去年完成的产品数都在区间(单位:万件)内,其中每年完成14万件及以上的工人为优秀员工,现将其分成5组,第1组、第2组第3组、第4组、第5组对应的区间分别为,并绘制出如图所示的频率分布直方图.(1)选取合适的抽样方法从这200名工人中抽取容量为25的样本,求这5组分别应抽取的人数;(2)现从(1)中25人的样本中的优秀员工中随机选取2名传授经验,求选取的2名工人在同一组的概率.参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】利用三角形内角和为,得到,利用正弦定理求得.【详解】因为,所以,在中,所以,故选A.【点睛】本题考查三角形内角和及正弦定理的应用,考查基本运算求解能力.2、D【解析】根据总体与样本中的相关概念进行判断.【详解】由题意可知,在这个工作中,个零件的长度是总体的一个样本,故选D.【点睛】本题考查总体与样本中相关概念的理解,属于基础题.3、B【解析】试题分析:方桌共有块,其中红色的由块,黄色的由块,,绿色的由块,所以(1)(2)(3)结论正确,故选择B.这里表面上看是与面积相关的几何概型,其实还是古典概型考点:古典概型的概率计算和事件间的关系.4、D【解析】由不等式与方程的关系可得且,则等价于,再结合二次不等式的解法求解即可.【详解】解:由关于x的不等式的解集是,由不等式与方程的关系可得且,则等价于等价于,解得,即关于x的不等式的解集是,故选:D.【点睛】本题考查了不等式与方程的关系,重点考查了二次不等式的解法,属基础题.5、D【解析】由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断;由面面垂直的性质定理可判断;由线面垂直的性质定理可判断【详解】平面平面直线平面,直线平面,若,可得,可能平行,故错误;若,由面面垂直的性质定理可得,故正确;若,可得,故正确故选:D【点睛】本题考查空间线线和线面、面面的位置关系,主要是平行和垂直的判断和性质,考查推理能力,属于基础题6、B【解析】7、A【解析】分别计算出每个面积,相加得到答案.【详解】 故答案选A【点睛】本题考查了图像的表面积,意在考查学生的计算能力.8、C【解析】首先将原不等式转化为,然后对进行分类讨论,再结合不等式解集中恰有3个整数,列出关于的条件,求解即可.【详解】关于的不等式等价于当时,即时,于的不等式的解集为,要使解集中恰有3个整数,则;当时,即时,于的不等式的解集为,不满足题意;当时,即时,于的不等式的解集为,要使解集中恰有3个整数,则;综上,.故选:C【点睛】本题主要考了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想,属于中档题9、B【解析】利用进制数化为十进制数的计算公式,从而得解【详解】由题意,故选【点睛】本题主要考查八进制数与十进制数之间的转化,熟练掌握进制数与十进制数之间的转化计算公式是解题的关键10、A【解析】先求出直线经过的定点,再求出弦AB最短时直线l的方程.【详解】由题得,所以直线l过定点P.当CPl时,弦AB最短.由题得,所以.所以直线l的方程为.故选:A【点睛】本题主要考查直线过定点问题,考查直线方程的求法,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】利用诱导公式以及两角和与差的三角公式,化简求解即可【详解】解:角满足,可得则故答案为:【点睛】本题考查两角和与差的三角公式,诱导公式的应用,考查计算能力,是基础题12、【解析】作出图形,取的中点,连接,证明平面,可知点平面的距离等于点到平面的距离,然后利用等体积法计算出点到平面的距离,即为所求.【详解】如下图所示,取的中点,连接,在正方体中,且,、分别为、的中点,且,所以,四边形为平行四边形,且,又,平面,平面,平面,则点平面的距离等于点到平面的距离,的面积为,在正方体中,平面,且平面,易知三棱锥的体积为.的面积为.设点到平面的距离为,则,.故答案为:.【点睛】本题考查点到平面的距离的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等体积法的合理运用13、2【解析】根据条件,利用余弦定理可建立关于c的方程,即可解出c.【详解】由余弦定理得,即,解得或(舍去).故填2.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边,属于中档题.14、5【解析】分别求得A,B的坐标,再用两点间的距离公式求解.【详解】根据题意令得所以令得所以所以故答案为:5【点睛】本题主要考查点坐标的求法和两点间的距离公式,还考查了运算求解的能力,属于基础题.15、25【解析】由直方图可得2500,3000)(元)月收入段共有100000.0005500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为25.16、【解析】解:根据题意可知三棱锥BACD的三条侧棱BD、DC、DA两两互相垂直,所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球,长方体的对角线的长为:,球的直径是,半径为,三棱锥BACD的外接球的表面积为:45故答案为5 考点:外接球.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1)证明见解析;(2) 【解析】(1)连接交于,连接,再证明即可.(2)根据(1)中的可知异面直线与所成角的为,再计算的各边长分析出为直角三角形,继而求得即可.【详解】(1) 连接交于,连接.则为中点因为分别为中点,故为中位线,故.又面,面.故平面.(2)由(1)有异面直线与所成角即为与所成角即,设正四棱锥的各边长均为2,则,.因为,故.则.即异面直线与所成角的余弦值为【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及异面角的余弦求解,需要根据题意找到中位线证明线面平行,同时要将异面角利用平行转换为平面角,利用三角形中的关系求解.属于基础题.18、(1)或;(2)平行 【解析】(1)设出圆的圆心为,半径为,可得圆的标准方程,根据题意可得,解出即可得出圆的方程,讨论过点P的直线斜率存在与否,再根据点到直线的距离公式即可求解. (2)由题意知,直线PA,PB的倾斜角互补,分类讨论两直线的斜率存在与否,当斜率均存在时,则直线PA的方程为:,直线PB的方程为:,分别与圆C联立可得,利用斜率的计算公式与作比较即可.【详解】(1)根据题意,不妨设圆C的圆心为,半径为,则圆C,由圆C经过点,且与直线相切,则,解得,故圆C的方程为:,所以点在圆上,过点P且被圆C截得的弦长等于4的直线,当直线的斜率不存在时,直线为: ,满足题意;当直线的斜率存在时,设直线的斜率为,直线方程为:,故,解得,故直线方程为:.综上所述:所求直线的方程:或.(2)由题意知,直线PA,PB的倾斜角互补,且直线PA,PB的斜率均存在,设两直线的倾斜角为和,因为,由正切的性质,则,不妨设直线的斜率为,则PB的斜率为,即:,则:,由,得,点的横坐标为一定是该方程的解,故可得,同理,,直线AB与OP平行.【点睛】本题考查了圆的标准方程,已知弦长求直线方程,考查了直线与圆的位置关系以及学生的计算能力,属于中档题.
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