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2024届江苏溧阳市数学高一下期末达标检测模拟试题考生请注意:1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1已知平面内,且,则的最大值等于( )A13B15C19D212己知向量,.若,则m的值为( )AB4C-D-43已知中,则B等于()AB或CD或4宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的( )A5B4C3D95若函数的定义域为Mx|2x2,值域为Ny|0y2,则函数的图像可能是( )ABCD6若集合,则的真子集的个数为( )A3B4C7D87若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为A0.3B0.4C0.6D0.78在中,角,的对边分别为,,若,则( )ABCD9从3位男运动员和4位女运动员中选派3人参加记者招待会,至少有1位男运动员和1位女运动员的选法有( )种ABCD10某校进行了一次消防安全知识竞赛,参赛学生的得分经统计得到如图的频率分布直方图,若得分在的有60人,则参赛学生的总人数为( )A100B120C150D200二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11已知、的取值如表所示:01342.24.34.86.7从散点图分析,与线性相关,且,则_12过点作直线与圆相交,则在弦长为整数的所有直线中,等可能的任取一条直线,则弦长长度不超过14的概率为_.13方程在上的解集为_14已知向量,满足,与的夹角为,则在上的投影是 ;15在数列中,则 .16不等式的解集为_.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17定义:如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称为三角形”数列对于“三角形”数列,如果函数使得仍为一个三角形”数列,则称是数列的“保三角形函数”(1)已知是首项为2,公差为1的等差数列,若,是数列的保三角形函数”,求的取值范围;(2)已知数列的首项为2019,是数列的前项和,且满足,证明是“三角形”数列;(3)求证:函数,是数列1,的“保三角形函数”的充要条件是,18年北京市进行人口抽样调查,随机抽取了某区居民人,记录他们的年龄,将数据分成组:,并整理得到如下频率分布直方图:()从该区中随机抽取一人,估计其年龄不小于的概率;()估计该区居民年龄的中位数(精确到);()假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计该区居民的平均年龄.19已知:的顶点,(1)求AB边上的中线CD所在直线的方程;(2)求的面积20如图所示,在四棱锥中,底面是棱长为2的正方形,侧面为正三角形,且面面,分别为棱的中点 (1)求证:平面; (2)求二面角的正切值21如图,四棱锥中,平面平面,为的中点.(1)求证:/平面;(2)求点到面的距离(3)求二面角平面角的正弦值参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】令,将,表示成,即可将表示成,展开可得:,再利用基本不等式即可求得其最大值.【详解】令,则又,所以当且仅当时,等号成立.故选:A【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用及利用基本不等式求最值,考查转化能力及计算能力,属于难题.2、B【解析】根据两个向量垂直的坐标表示列方程,解方程求得的值.【详解】依题意,由于,所以,解得.故选B.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示,考查向量减法的坐标运算,属于基础题.3、D【解析】根据题意和正弦定理求出sinB的值,由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出B【详解】由题意得,ABC中,a1,A30,由得,sinB,又ba,0B180,则B60或B120,故选:D【点睛】本题考查正弦定理,以及边角关系的应用,注意内角的范围,属于基础题4、B【解析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出,分析循环中各变量的变化情况,可得答案.【详解】当时,满足进行循环的条件;当时,满足进行循环的条件;当时,满足进行循环的条件;当时,不满足进行循环的条件;故选:B【点睛】本题主要考查程序框图,解题的关键是读懂流程图各个变量的变化情况,属于基础题.5、B【解析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象,即可排除;对B满足函数定义,故符合;对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况,不符合函数的定义,从而可以否定;对D因为值域当中有的元素没有原象,故可否定故选B6、A【解析】先求出的交集,再依据求真子集个数公式求出,也可列举求出。【详解】,所以的真子集的个数为,故选A。【点睛】有限集合的子集个数为个,真子集个数为。7、B【解析】分析:由公式计算可得详解:设事件A为只用现金支付,事件B为只用非现金支付,则因为所以,故选B.点睛:本题主要考查事件的基本关系和概率的计算,属于基础题8、A【解析】由正弦定理求得sinA,利用同角三角函数的基本关系求得cosA,求出sinB=sin(120+A)的值,可得的值【详解】ABC中,由正弦定理可得,sinA=,cosA=.sinB=sin(120+A)=+=,再由正弦定理可得=,故答案为A.【点睛】本题考查正弦定理,两角和与差的正弦公式的应用,求出sinB是解题的关键,属基础题9、C【解析】利用分类原理,选出的3人中,有1男2女,有2男1女,两种情况相加得到选法总数.【详解】(1)3人中有1男2女,即;(2)3人中有2男1女,即;所以选法总数为,故选C.【点睛】分类加法原理和分步乘法原理进行计算时,要注意分类的标准,不出现重复或遗漏情况,本题若是按先选1个男的,再选1个女的,最后从剩下的5人中选1人,则会出现重复现象.10、C【解析】根据频率分布直方图求出得分在的频率,即可得解.【详解】根据频率分布直方图可得:得分在的频率0.35,得分在的频率0.3,得分在的频率0.2,得分在的频率0.1,所以得分在的频率0.05,得分在的频率为0.4,有60人,所以参赛学生的总人数为600.4=150人.故选:C【点睛】此题考查根据频率分布直方图求某组的频率,根据频率分布直方图的特征计算小矩形的面积,根据总面积之和为1计算未知数,结合频率频数计算总人数.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】根据数据表求解出,代入回归直线,求得的值.【详解】根据表中数据得:,又由回归方程知回归方程的斜率为截距本题正确结果:【点睛】本题考查利用回归直线求实际数据,关键在于明确回归直线恒过,从而可构造出关于的方程.12、【解析】根据圆的性质可求得最长弦和最短弦的长度,从而得到所有弦长为整数的直线条数,从中找到长度不超过的直线条数,根据古典概型求得结果.【详解】由题意可知,最长弦为圆的直径:在圆内部且圆心到的距离为最短弦长为:弦长为整数的直线的条数有:条其中长度不超过的条数有:条所求概率:本题正确结果:【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解,涉及到过圆内一点的最长弦和最短弦的长度的求解;易错点是忽略圆的对称性,造成在求解弦长为整数的直线的条数时出现丢根的情况.13、【解析】由求出的取值范围,由可得出的值,从而可得出方程在上的解集.【详解】,由,得.,解得,因此,方程在上的解集为.故答案为:.【点睛】本题考查正切方程的求解,解题时要求出角的取值范围,考查计算能力,属于基础题.14、1 【解析】考查向量的投影定义,在上的投影等于的模乘以两向量夹角的余弦值15、【解析】因为,.16、【解析】利用两个数的商是正数等价于两个数同号;将已知的分式不等式转化为整式不等式,求出解集【详解】同解于解得或故答案为:【点睛】本题考查解分式不等式,利用等价变形转化为整式不等式是解题的关键三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析;(3)见解析【解析】(1)先由条件得是三角形数列,再利用,是数列的“保三角形函数”,得到,解得的取值范围;(2)先利用条件求出数列的通项公式,再证明其满足“三角形”数列的定义即可;(3)根据函数,是数列1,的“保三角形函数”,可以得到1,是三角形数列,所以,即,数列中的各项必须在定义域内,即,是三角形数列;结论为在利用,是单调递减函数,就可求出对应的范围,即可证明【详解】(1)解:显然,对任意正整数都成立,即是三角形数列,因为,显然有,由得,解得,所以当时,是数列的“保三角形函数”;(2)证:由,当时,当时,即,解得,数列是以2019为首项,以为公比的等比数列,显然,因为,所以是“三角形”数列;(3)证:函数,是数列1,的“保三角形函数”,必须满足三个条件:1,是三角形数列,所以,即;数列中的各项必须在定义域内,即;,是三角形数列,由于,是单调递减函数,所以,解得,所以函数,是数列1,的“保三角形函数”的充要条件是,【点睛】本题主要考查数列与三角函数的综合,考查在新定义下数列与三角函数的结合,考查等比数列的证明,等比数列的通项公式,考查转化思想,属于难题18、()()()【解析】(I)计算之间的频率和,由此估计出年龄不小于的概率.(II)从左往右,计算出频率之和为的位置,由此估计中中位数.(III)用各组中点值乘以频率人后相加,求得居民平均年龄的估计值.【详解】解:()设从该区中随机抽取一人,估计其年龄不小于60为事件,所以该区中随机抽取一人,估计其年龄不小于60的概率为.()年龄在的累计频率为,所以估计中位数为.()平均年龄为【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的识别与应用,考查频率分布
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