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学海大联考 2023-2024学年数学高一下期末监测试题注意事项1考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回2答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效5如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1已知函数,此函数的图象如图所示,则点的坐标是( )ABCD2函数的定义域是( )ABCD3如图所示,在四边形中,.将四边形沿对角线折成四面体,使平面平面,则下列结论中正确的结论个数是( ) ;与平面所成的角为;四面体的体积为.A个B个C个D个4已知函数,若在区间内没有零点,则的取值范围是( )ABCD5已知直线与直线平行,则实数m的值为( )A3B1C-3或1D-1或36公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 ( )A18B24C60D907( ).ABCD8已知三棱柱( )ABCD9己知数列和的通项公式分別内,若,则数列中最小项的值为( )AB24C6D710已知a0,x,y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1,则a=ABC1D2二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表所示(单位:人).参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230若从该班随机选l名同学,则该同学至少参加上述一个社团的概率为_.12已知圆锥底面半径为1,高为,则该圆锥的侧面积为_13已知、的取值如表所示:01342.24.34.86.7从散点图分析,与线性相关,且,则_14已知中,的对边分别为,若,则的周长的取值范围是_15在中,三个角所对的边分别为若角成等差数列,且边成等比数列,则的形状为_16在三棱锥中,作交于,则与平面所成角的正弦值是_.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知三棱柱中,平面ABC,M为AC中点.(1)证明:直线平面;(2)求异面直线与所成角的大小.18已知两个定点,动点满足.设动点的轨迹为曲线,直线.(1)求曲线的轨迹方程;(2)若与曲线交于不同的两点,且(为坐标原点),求直线的斜率;(3)若, 是直线上的动点,过作曲线的两条切线,切点为,探究:直线是否过定点.19某体育老师随机调查了100名同学,询问他们最喜欢的球类运动,统计数据如表所示.已知最喜欢足球的人数等于最喜欢排球和最喜欢羽毛球的人数之和.最喜欢的球类运动足球篮球排球乒乓球羽毛球网球人数a201015b5(1)求的值;(2)将足球、篮球、排球统称为“大球”,将乒乓球、羽毛球、网球统称为“小球”.现按照喜欢大、小球的人数用分层抽样的方式从调查的同学中抽取5人,再从这5人中任选2人,求这2人中至少有一人喜欢小球的概率.20如图,在中,角,的对边分别为,且.(1)求的大小;(2)若,为外一点,求四边形面积的最大值.21设向量,其中,且(1)求实数的值;(2)若,且,求的值参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】根据确定的两个相邻零点的值可以求出最小正周期,进而利用正弦型最小正周期公式求出的值,最后把其中的一个零点代入函数的解析式中,求出的值即可.【详解】设函数的最小正周期为,因此有,当时,因此的坐标为:.故选:B【点睛】本题考查了通过三角函数的图象求参数问题,属于基础题2、D【解析】解不等式,即得函数的定义域.【详解】因为,所以,即,解得故选:D【点睛】本题主要考查三角函数定义域的求法,考查解三角不等式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.3、B【解析】根据题意,依次分析命题:对于,可利用反证法说明真假;对于,为等腰直角三角形,平面,得平面,根据勾股定理逆定理可知;对于,由与平面所成的角为知真假;对于,利用等体积法求出所求体积进行判定即可,综合可得答案【详解】在四边形中,则,可得,由,若,且,可得平面,平面,这与矛盾,故不正确;平面平面,平面平面,平面,平面,平面,由勾股定理得,故,故正确;由知平面,则直线与平面所成的角为,且有,则为等腰直角三角形,且,则.故不正确;四面体的体积为,故不正确.故选:B.【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角,以及三棱锥的体积的计算,考查了空间想象能力,推理论证能力,解题的关键是须对每一个进行逐一判定4、B【解析】由题得,再由题分析得到,解不等式分析即得解.【详解】因为,所以因为在区间内没有零点,所以,解得,因为,所以因为,所以或当时,;当时,故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的零点问题和三角函数的图像和性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于中档题.5、B【解析】两直线平行应该满足,利用系数关系及可解得m.【详解】两直线平行,可得(舍去).选B.【点睛】两直线平行的一般式对应关系为:,若是已知斜率,则有,截距不相等.6、C【解析】由等比中项的定义可得,根据等差数列的通项公式及前n项和公式,列方程解出和,进而求出.【详解】因为是与的等比中项,所以,即,整理得,又因为,所以,故,故选C.【点睛】该题考查的是有关等差数列求和问题,涉及到的知识点有等差数列的通项,等比中项的定义,等差数列的求和公式,正确应用相关公式是解题的关键.7、D【解析】运用诱导公式进行化简,最后逆用两角和的正弦公式求值即可.【详解】,故本题选D.【点睛】本题考查了正弦的诱导公式,考查了逆用两角和的正弦公式,考查了特殊角的正弦值.8、C【解析】因为直三棱柱中,AB3,AC4,AA112,ABAC,所以BC5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径取BC中点D,则OD底面ABC,则O在侧面BCC1B1内,矩形BCC1B1的对角线长即为球直径,所以2R13,即R9、D【解析】根据两个数列的单调性,可确定数列,也就确定了其中的最小项【详解】由已知数列是递增数列,数列是递减数列,且计算后知,又,数列中最小项的值是1故选D【点睛】本题考查数列的单调性,数列的最值解题时依据题意确定大小即可本题难度一般10、B【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示:当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时,取得最小值,而点A的坐标为(1,),所以,解得,故选B.【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识,难度不大,线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现,是高考的重点内容之一,几乎年年必考.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】直接利用公式得到答案.【详解】至少参加上述一个社团的人数为15 故答案为【点睛】本题考查了概率的计算,属于简单题.12、【解析】由已知求得母线长,代入圆锥侧面积公式求解【详解】由已知可得r=1,h=,则圆锥的母线长l=,圆锥的侧面积S=rl=2故答案为:2【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=rl.13、【解析】根据数据表求解出,代入回归直线,求得的值.【详解】根据表中数据得:,又由回归方程知回归方程的斜率为截距本题正确结果:【点睛】本题考查利用回归直线求实际数据,关键在于明确回归直线恒过,从而可构造出关于的方程.14、【解析】中,由余弦定理可得, , ,化简可得 ,解得 (当且仅当 时,取等号)故 再由任意两边之和大于第三边可得 ,故有 ,故的周长的取值范围是,故答案为点睛:由余弦定理求得,代入已知等式可得,利用基本不等式求得,故再由三角形任意两边之和大于第三边求得 ,由此求得ABC的周长的取值范围15、等边三角形【解析】分析:角成等差数列解得,边成等比数列,则,再根据余弦定理得出的关系式详解:角成等差数列,则解得,边成等比数列,则,余弦定理可知故为等边三角形点睛:判断三角形形状,是根据题意推导边角关系的恒等式16、【解析】取中点,中点,易得面,再求出到平面的距离,进而求解再得出到平面的距离.从而算得与平面所成角的正弦值即可.【详解】如图,取中点,中点,连接.因为,所以.因为,所以.在中,余弦定理可得.在中,余弦定理可得,故.在中,且面.故到面的距离.到面的距离.又因为,所以,所以,所以,故到面的距离.故与平面所成角的正弦值是 故答案为:【点睛】本题主要考查了空间中线面垂直的性质与运用,同时也考查了余弦定理在三角形中求线段与角度正余弦值的方法,需要根据题意找到点到面的距离求解,再求出线面的夹角.属于难题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】(1)连接交于点O,再证明,得证;(2)先求,可得.再结合即可得解.【详解】证明:(1)连接交于点O,连接OM, 为平行四边形,为的中点,又M为AC的中点,.又平面,平面.平面.(2)平面ABC, .又,由M为AC中点, ,又O为的中点,.,.所以异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理,重点考查了异面直线所成角的求法,属基础题.18、(1);(2);(3).【解析】(1)设点P坐标为(x,y),运用两点的距离公式,化简整理,即可得到所求轨迹的方程;(2)由,则点到边的距离为,由点到线的距离公式得直线的斜率;(3)由题意可知:O,Q,M,N四点共圆且在以OQ为直径的圆上,设,则圆的圆心为运用直径式圆的方程,得直线的方程为,结合直线系方程,即可得到所求定点【详解】(1)设点的坐标为由可得,整理可得所以曲线的轨迹方程为. (2)依题意,且,
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