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上海市泥城中学2023-2024学年高一数学第二学期期末教学质量检测试题考生请注意:1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1若满足,且的最小值为,则实数的值为()ABCD2sin480等于( )ABCD3已知是偶函数,且时.若时,的最大值为,最小值为,则()A2B1C3D4若,设,且,则的值为( )A0B3C15D185若,则在中,正数的个数是( )A16B72C86D1006如图,在圆内随机撒一把豆子,统计落在其内接正方形中的豆子数目,若豆子总数为,落在正方形内的豆子数为,则圆周率的估算值是( )A B C D7在正方体中,为棱的中点,则异面直线与所成角的正切值为ABCD8若直线与圆有公共点,则实数的取值范围是( )ABCD9若向量,则点B的坐标为( )ABCD10当为第二象限角时,的值是( )ABCD二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11已知数列的通项公式,前项和达到最大值时,的值为_.12平面四边形如图所示,其中为锐角三角形,则_.13设 ,数列满足,将数列的前100项从大到小排列得到数列,若,则k的值为_;14已知数列,若该数列是减数列,则实数的取值范围是_15已知为锐角,则_.16如图,缉私艇在处发现走私船在方位角且距离为12海里的处正以每小时10海里的速度沿方位角的方向逃窜,缉私艇立即以每小时14海里的速度追击,则缉私艇追上走私船所需要的时间是_小时.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, ()求B的大小;()若,求的取值范围.18如图,甲、乙两个企业的用电负荷量关于投产持续时间(单位:小时)的关系均近似地满足函数.(1)根据图象,求函数的解析式;(2)为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9,现采用错峰用电的方式,让企业乙比企业甲推迟小时投产,求的最小值.19某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照分成5组,制成如图所示频率分直方图.(1)求图中x的值;(2)求这组数据的平均数和中位数;(3)已知满意度评分值在内的男生数与女生数3:2,若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈,求2人均为男生的概率.20某地统计局调查了10000名居民的月收入,并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示(1)求居民月收入在3000,3500)内的频率;(2)根据频率分布直方图求出样本数据的中位数;(3)为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析,则应从月收入在2500,3000)内的居民中抽取多少人?21某体育老师随机调查了100名同学,询问他们最喜欢的球类运动,统计数据如表所示.已知最喜欢足球的人数等于最喜欢排球和最喜欢羽毛球的人数之和.最喜欢的球类运动足球篮球排球乒乓球羽毛球网球人数a201015b5(1)求的值;(2)将足球、篮球、排球统称为“大球”,将乒乓球、羽毛球、网球统称为“小球”.现按照喜欢大、小球的人数用分层抽样的方式从调查的同学中抽取5人,再从这5人中任选2人,求这2人中至少有一人喜欢小球的概率.参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】首先画出满足条件的平面区域,然后根据目标函数取最小值找出最优解,把最优解点代入目标函数即可求出的值【详解】画出满足条件的平面区域,如图所示:,由,解得:,由得:,显然直线过时,z最小,解得:,故选B【点睛】本题主要考查简单的线性规划,已知目标函数最值求参数的问题,属于常考题型2、D【解析】试题分析:因为,所以选D.考点:诱导公式,特殊角的三角函数值.3、B【解析】根据函数的对称性得到原题转化为直接求的最大和最小值即可.【详解】因为函数是偶函数,函数图像关于y轴对称,故得到时,的最大值和最小值,与时的最大值和最小值是相同的,故直接求的最大和最小值即可;根据对勾函数的单调性得到函数的最小值为,故最大值为,此时故答案为:B.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性的应用,属于基础题。对于函数的奇偶性,主要是体现函数的对称性,这样可以根据对称性得到函数在对称区间上的函数值的关系,使得问题简化.4、B【解析】首先分别求出向量 ,然后再用两向量平行的坐标表示,最后求值.【详解】, ,当时,解得.故选B.【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,属于基础题型.5、C【解析】令,则,当1n14时,画出角序列终边如图,其终边两两关于x轴对称,故有均为正数,而,由周期性可知,当14k-13n14k时,Sn0,而,其中k=1,2,7,所以在中有14个为0,其余都是正数,即正数共有1001486个,故选C.6、B【解析】试题分析:设正方形的边长为.则圆的半径为,根据几何概型的概率公式可以得到,即,故选B.考点:几何概型.【方法点睛】本题題主要考查“体积型”的几何概型,属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有:长度型、角度型、面积型、体积型,求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总体积(总空间) 以及事件的体积(事件空间);几何概型问题还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误;(2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ;(3)利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.7、C【解析】利用正方体中,将问题转化为求共面直线与所成角的正切值,在中进行计算即可.【详解】在正方体中,所以异面直线与所成角为,设正方体边长为,则由为棱的中点,可得,所以,则.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法:(1)几何法:平移两直线中的一条或两条,到一个平面中;利用边角关系,找到(或构造)所求角所在的三角形;求出三边或三边比例关系,用余弦定理求角;(2)向量法:求两直线的方向向量;求两向量夹角的余弦;因为直线夹角为锐角,所以对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.8、C【解析】由题意得圆心为,半径为圆心到直线的距离为,由直线与圆有公共点可得,即,解得实数a取值范围是选C9、B【解析】根据向量的坐标运算得到,得到答案.【详解】,故.故选:.【点睛】本题考查了向量的坐标运算,意在考查学生的计算能力.10、C【解析】根据为第二象限角,去掉绝对值,即可求解【详解】因为为第二象限角,故选C【点睛】本题重点考查三角函数值的符合,三角函数在各个象限内的符号可以结合口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦,增加记忆印象,属于基础题二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、或【解析】令,求出的取值范围,即可得出达到最大值时对应的值.【详解】令,解得,因此,当或时,前项和达到最大值.故答案为:或.【点睛】本题考查等差数列前项和最值的求解,可以利用关于的二次函数,由二次函数的基本性质求得,也可以利用等差数列所有非正项或非负项相加即得,考查计算能力,属于基础题.12、【解析】由二倍角公式求出,然后用余弦定理求得,再由余弦定理求【详解】由题意,在中,在中,即,解得,或若,则,不合题意,舍去,所以故答案为:【点睛】本题考查余弦的二倍角公式,考查余弦定理掌握余弦定理是解题关键13、【解析】根据递推公式利用数学归纳法分析出与的关系,然后考虑将的前项按要求排列,再根据项的序号计算出满足的值即可.【详解】由已知,a1a,0a1;并且函数yax单调递减;1a2a1,a2a3a1,且a2a4a3a1当为奇数时,用数学归纳法证明,当时,成立,设时,当时,因为,结合的单调性,所以,所以即,所以时成立,所以为奇数时,;当为偶数时,用数学归纳法证明,当时,成立,设时,当时,因为,结合的单调性,所以,所以即,所以时成立,所以为偶数时,;用数学归纳法证明:任意偶数项大于相邻的奇数项即证:当为奇数,当时,符合,设时,当时,因为,结合的单调性,所以,所以,所以,所以时成立,所以当为奇数时,据此可知:,当时,若,则有,此时无解;当时,此时的下标成首项为公差为的等差数列,通项即为,若,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查数列与函数的综合应用,难度较难.(1)分析数列的单调性时,要注意到数列作为特殊的函数,其定义域为;(2)证明数列的单调性可从与的关系入手分析.14、【解析】本题可以先通过得出的解析式,再得出的解析式,最后通过数列是递减数列得出实数的取值范围【详解】, 因为该数列是递减数列,所以即因为所以实数的取值范围是【点睛】本题考察的是递减数列的性质,递减数列的后一项减去前一项的值一定是一个负值15、【解析】利用同角三角函数的基本关系得,再根据角度关系,利用诱导公式即可得答案.【详解】且,;,.故答案为:.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意三角函数的符号问题.16、【解析】设缉私艇追上走私船所需要的时间为小时,根据各自的速度表示出与,由,利用余弦定理列出关于的方程,求出方程的解即可得到的值【详解】解:设缉私艇上走私船所需要的时间为小时,则,在中,根据余弦定理知:,或(舍去),故缉私艇追上走私船所需要的时间为2小时故答案为:【点睛】本题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键,属于中档题三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】()由条件利用正弦定理求得 sinB的值,可得B的值()使用正弦定理
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