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上海市宝山区通河中学2023-2024学年高一下数学期末达标检测模拟试题考生请注意:1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1在中,则=( )ABCD2中国古代的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”.某校国学社团准备于周六上午9点分别在6个教室开展这六门课程讲座,每位同学只能选择一门课程,则甲乙两人至少有人选择“礼”的概率是( )ABCD3若,则( )A0B-1C1或0D0或-14己知关于的不等式解集为,则突数的取值范围为( )ABCD5是边AB上的中点,记,则向量( )ABCD6已知等差数列的前n项和为,且S892,a513,则a4A16B13C12D107直线l:x+y10与圆C:x2+y21交于两点A、B,则弦AB的长度为()A2BC1D8已知,是两条不同的直线,是两个不同的平面,若,则下列命题正确的是A若,则B若,且,则C若,则D若,且,则9在的二面角内,放置一个半径为3的球,该球切二面角的两个半平面于A,B两点,那么这两个切点在球面上的最短距离为( )ABCD10在ABC中,a=3,b=5,sinA=,则sinB=( )ABCD1二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11在中,点在线段上,若,则的面积是_12已知数列满足,若,则的所有可能值的和为_;13如果,则的值为_(用分数形式表示)14设,且,则的取值范围是_.15方程在区间内解的个数是_16在中,角的对边分别为,且面积为,则面积的最大值为_三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17从全校参加科技知识竞赛初赛的学生试卷中,抽取一个样本,考察竞赛的成绩分布.将样本分成5组,绘成频率分布直方图(如图),图中从左到右各小组的小长方形的高之比是,最后一组的频数是6.请结合频率分布直方图提供的信息,解答下列问题:(1)样本的容量是多少?(2)求样本中成绩在分的学生人数;(3)从样本中成绩在90.5分以上的同学中随机地抽取2人参加决赛,求最高分甲被抽到的概率.18已知中,角的对边分别为.已知,.()求角的大小;()设点满足,求线段长度的取值范围.19在中,分别为角所对应的边,已知,求的长度.20在平面直角坐标系中,已知圆的方程为,过点的直线与圆交于两点,(1)若,求直线的方程;(2)若直线与轴交于点,设,R,求的值21已知函数,(1)写出函数的解析式;(2)若直线与曲线有三个不同的交点,求的取值范围;(3)若直线 与曲线在内有交点,求的取值范围.参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据正弦定理,代入即可求解.【详解】因为中,由正弦定理可知 代入可得故选:C【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.2、D【解析】甲乙两人至少有人选择“礼”的对立事件是甲乙两人都不选择“礼”,求出后者的概率即可【详解】由题意,甲和乙不选择“礼”的概率是,且相互独立所以甲乙两人都不选择“礼”的概率是所以甲乙两人至少有人选择“礼”的概率是故选:D【点睛】当遇到“至多”“至少”型题目时,一般用间接法求会比较简单,即先求出此事件的对立事件的概率,然后即可得出原事件的概率.3、D【解析】由二倍角公式可得,即,从而分情况求解.【详解】易得,或.由得.由,得.故选:D【点睛】本题考查二倍角公式的应用以及有关的二次齐次式子求值,属于中档题.4、C【解析】利用绝对值的几何意义求解,即表示数轴上与和2的距离之和,其最小值为【详解】,由解集为,得,解得故选C【点睛】本题考查绝对值不等式,考查绝对值的性质,解题时可按绝对值定义去绝对值符号后再求解,也可应用绝对值的几何意义求解不等式解集为,可转化为的最小值不小于1,这是解题关键5、C【解析】由题意得,选C6、D【解析】利用等差数列前项和公式化简已知条件,并用等差数列的性质转化为的形式,由此求得的值.【详解】依题意,解得,故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式,以及等差数列的性质,解答题目过程中要注意观察已知条件的下标.属于基础题.7、B【解析】利用直线和圆相交所得弦长公式,计算出弦长.【详解】圆的圆心为,半径为,圆心到直线的距离为,所以.故选:B【点睛】本小题主要考查直线和圆相交所得弦长的计算,属于基础题.8、D【解析】利用面面、线面位置关系的判定和性质,直接判定【详解】解:对于A,若n,m,则或与相交,故错;对于B,若l,且ml,则m与不一定垂直,故错;对于C,若mn,m,则与位置关系不定,故错;对于D,l,l,ml,则m,故正确故选D【点睛】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间相互关系的合理运用9、A【解析】根据题意,作出截面图,计算弧长即可.【详解】根据题意,作出该球过球心且经过A、B的截面图如下所示:由题可知:则,故满足题意的最短距离为弧长BA,在该弧所在的扇形中,弧长.故选:A.【点睛】本题考查弧长的计算公式,二面角的定义,属综合基础题.10、B【解析】试题分析:由正弦定理得,故选B考点:正弦定理的应用二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】过作于,设,运用勾股定理和三角形的面积公式,计算可得所求值【详解】过作于,设,又,可得,即有,可得的面积为故答案为【点睛】本题考查解三角形,考查勾股定理的运用,以及三角形的面积公式,考查化简运算能力,属于基础题12、36【解析】根据条件得到的递推关系,从而判断出的类型求解出可能的通项公式,即可计算出的所有可能值,并完成求和.【详解】因为,所以或,当时,是等差数列,所以;当时,是等比数列,所以,所以的所有可能值之和为:.故答案为:.【点睛】本题考查等差和等比数列的判断以及求数列中项的值,难度一般.已知数列满足(为常数),则是公差为的等差数列;已知数列满足,则是公比为的等比数列.13、【解析】先求出,可得,再代值计算即可.【详解】 .故答案为:【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式、累乘相消法,考查了学生的计算能力,属于基础题.14、【解析】通过可求得x的取值范围,接着利用反正弦函数的定义可得的取值范围.【详解】,即.由反正弦函数的定义可得,即的取值范围为.故答案为: .【点睛】本题主要考查余弦函数的定义域和值域,反正弦函数的定义,属于基础题.15、4.【解析】分析:通过二倍角公式化简得到,进而推断或,进而求得结果.详解:,所以或,因为,所以或或或,故解的个数是4.点睛:该题考查的是有关方程解的个数问题,在解题的过程中,涉及到的知识点有正弦的倍角公式,方程的求解问题,注意一定不要两边除以,最后求得结果.16、【解析】利用三角形面积构造方程可求得,可知,从而得到;根据余弦定理,结合基本不等式可求得,代入三角形面积公式可求得最大值.【详解】 ,由余弦定理得:(当且仅当时取等号) 本题正确结果:【点睛】本题考查解三角形问题中的三角形面积的最值问题的求解;求解最值问题的关键是能够通过余弦定理构造等量关系,进而利用基本不等式求得边长之积的最值,属于常考题型.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)48;(2)30;(3)【解析】(1)设样本容量为,列方程求解即可;(2)根据比例列式求解即可;(3)根据比例得成绩在90.5分以上的同学有6人,抽取2人参加决赛,列举出总的基本事件个数,然后列举出最高分甲被抽到的基本事件个数,根据概率公式可得结果.【详解】解:(1)设样本容量为,则,解得,所以样本的容量是48;(2)样本中成绩在分的学生人数为:人;(3)样本中成绩在90.5分以上的同学有人,设这6 名同学分别为,其中就是甲,从这6 名同学中随机地抽取2人参加决赛有:共15个基本事件,其中最高分甲被抽到的有共5个基本事件,则最高分甲被抽到的概率为.【点睛】本题考查频率,频数,样本容量间的关系,考查古典概型的概率公式,重点是列举出总的基本事件和满足题目要求的基本事件,是基础题.18、 () () 【解析】(I)利用数量积的定义和三角形面积公式可求得,从而得角;(II)由得,平方后可求得,即中线长,结合可得最小值,从而得取值范围【详解】()因为,所以 因为,所以得以两式相除得 所以()因为,所以因为,所以所以所以当且仅当时取得等号所以线段长度的取值范围时.【点睛】本题考查平面向量的数量积,考查平面向量的线性运算、三角形面积公式,解题关键是把中线向量表示为,这样把线段长度(向量模)转化为向量的数量积19、或【解析】由已知利用三角形的面积公式可得,可得或,然后分类讨论利用余弦定理可求的值.【详解】由题意得,即,或,又,当时, ,可得,当时, ,可得,故答案:或.【点睛】本题主要考查了三角形面积公式,余弦定理等知识解三角形,属于基础题.20、(1)(2)【解析】(1)设斜率为,则直线的方程为,利用圆的弦长公式,列出方程求得的值,即可得到直线的方程;(2)当直线的斜率不存在时,根据向量的运算,求得,当直线的斜率存在时,设直线的方程为,联立方程组,利用根与系数的关系,以及向量的运算,求得,得到答案【详解】(1)当直线的斜率不存在时,不符合题意;当直线的斜率存在时,设斜率为,则直线的方程为,所以圆心到直线的距离,因为,所以,解得,所以直线的方程为 .(2)当直线的斜率不存在时,不妨设,因为,所以,所以,所以 当直线的斜率存在时,设斜率为,则直线的方程为:,因为直线与轴交于点,所以直线与圆交于点,设,由得,所以,;因为,所以,所以,所以综上,【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,
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