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2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知函数,若不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是( )ABCD2设函数,若函数有三个零点,则()A12B11C6D33一个正四棱锥形骨架的底边边长为,高为,有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切,则该球的表面积为( )ABCD4在平面直角坐标系中,锐角顶点在坐标原点,始边为x轴正半轴,终边与单位圆交于点,则( )ABCD5已知等比数列满足,等差数列中,为数列的前项和,则( )A36B72CD6已知,分别为内角,的对边,的面积为,则( )AB4C5D7观察下列各式:,根据以上规律,则( )ABCD8已知抛物线,F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦,若,则的面积为( )ABCD9在中,分别为,的中点,为上的任一点,实数,满足,设、的面积分别为、,记(),则取到最大值时,的值为( )A1B1CD10已知向量,则与共线的单位向量为( )ABC或D或11在区间上随机取一个数,使得成立的概率为等差数列的公差,且,若,则的最小值为( )A8B9C10D1112函数的最大值为,最小正周期为,则有序数对为( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13在中,角、所对的边分别为、,若,则的取值范围是_14已知函数,若,则的取值范围是_15记等差数列和的前项和分别为和,若,则_.16函数过定点_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)设实数满足.(1)若,求的取值范围;(2)若,求证:.18(12分)如图,正方形所在平面外一点满足,其中分别是与的中点.(1)求证:;(2)若,且二面角的平面角的余弦值为,求与平面所成角的正弦值.19(12分)中,内角的对边分别为,.(1)求的大小;(2)若,且为的重心,且,求的面积.20(12分)已知函数(),且只有一个零点.(1)求实数a的值;(2)若,且,证明:.21(12分)某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律,据统计该地区蜻蜓有两种,且这两种的个体数量大致相等,记种蜻蜓和种蜻蜓的翼长(单位:)分别为随机变量,其中服从正态分布,服从正态分布.()从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只,求这只蜻蜓的翼长在区间的概率;()记该地区蜻蜓的翼长为随机变量,若用正态分布来近似描述的分布,请你根据()中的结果,求参数和的值(精确到0.1);()在()的条件下,从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只,记这3只中翼长在区间的个数为,求的分布列及数学期望(分布列写出计算表达式即可).注:若,则,.22(10分)已知椭圆()的离心率为,且经过点.(1)求椭圆的方程;(2)过点作直线与椭圆交于不同的两点,试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】先求出函数在处的切线方程,在同一直角坐标系内画出函数和的图象,利用数形结合进行求解即可.【题目详解】当时,所以函数在处的切线方程为:,令,它与横轴的交点坐标为.在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示:利用数形结合思想可知:不等式对任意的恒成立,则实数k的取值范围是.故选:A【答案点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题,考查了导数的应用,属于中档题.2、B【答案解析】画出函数的图象,利用函数的图象判断函数的零点个数,然后转化求解,即可得出结果【题目详解】作出函数的图象如图所示,令,由图可得关于的方程的解有两个或三个(时有三个,时有两个),所以关于的方程只能有一个根(若有两个根,则关于的方程有四个或五个根),由,可得的值分别为,则故选B【答案点睛】本题考查数形结合以及函数与方程的应用,考查转化思想以及计算能力,属于常考题型.3、B【答案解析】根据正四棱锥底边边长为,高为,得到底面的中心到各棱的距离都是1,从而底面的中心即为球心.【题目详解】如图所示:因为正四棱锥底边边长为,高为,所以 , 到 的距离为,同理到 的距离为1,所以为球的球心,所以球的半径为:1,所以球的表面积为.故选:B【答案点睛】本题主要考查组合体的表面积,还考查了空间想象的能力,属于中档题.4、A【答案解析】根据单位圆以及角度范围,可得,然后根据三角函数定义,可得,最后根据两角和的正弦公式,二倍角公式,简单计算,可得结果.【题目详解】由题可知:,又为锐角所以,根据三角函数的定义:所以由所以故选:A【答案点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式,还考查二倍角的正弦、余弦公式,难点在于公式的计算,识记公式,简单计算,属基础题.5、A【答案解析】根据是与的等比中项,可求得,再利用等差数列求和公式即可得到.【题目详解】等比数列满足,所以,又,所以,由等差数列的性质可得.故选:A【答案点睛】本题主要考查的是等比数列的性质,考查等差数列的求和公式,考查学生的计算能力,是中档题.6、D【答案解析】由正弦定理可知,从而可求出.通过可求出,结合余弦定理即可求出 的值.【题目详解】解:,即,即. ,则.,解得., 故选:D.【答案点睛】本题考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面积公式,考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件,得到角 的正弦值余弦值.7、B【答案解析】每个式子的值依次构成一个数列,然后归纳出数列的递推关系后再计算【题目详解】以及数列的应用根据题设条件,设数字,构成一个数列,可得数列满足,则,故选:B【答案点睛】本题主要考查归纳推理,解题关键是通过数列的项归纳出递推关系,从而可确定数列的一些项8、A【答案解析】根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.【题目详解】由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,则.由得,则.又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.故选:A【答案点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.9、D【答案解析】根据三角形中位线的性质,可得到的距离等于的边上高的一半,从而得到,由此结合基本不等式求最值,得到当取到最大值时,为的中点,再由平行四边形法则得出,根据平面向量基本定理可求得,从而可求得结果.【题目详解】如图所示:因为是的中位线,所以到的距离等于的边上高的一半,所以,由此可得,当且仅当时,即为的中点时,等号成立,所以,由平行四边形法则可得,将以上两式相加可得,所以,又已知,根据平面向量基本定理可得,从而.故选:D【答案点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则,考查了平面向量基本定理的应用,考查了基本不等式求最值,属于中档题.10、D【答案解析】根据题意得,设与共线的单位向量为,利用向量共线和单位向量模为1,列式求出即可得出答案.【题目详解】因为,则,所以,设与共线的单位向量为,则,解得 或所以与共线的单位向量为或.故选:D.【答案点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.11、D【答案解析】由题意,本题符合几何概型,只要求出区间的长度以及使不等式成立的的范围区间长度,利用几何概型公式可得概率,即等差数列的公差,利用条件,求得,从而求得,解不等式求得结果.【题目详解】由题意,本题符合几何概型,区间长度为6,使得成立的的范围为,区间长度为2,故使得成立的概率为,又,令,则有,故的最小值为11,故选:D.【答案点睛】该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题,涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式,等差数列的通项公式,属于基础题目.12、B【答案解析】函数(为辅助角)函数的最大值为,最小正周期为故选B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【答案解析】计算出角的取值范围,结合正弦定理可求得的取值范围.【题目详解】,则,所以,由正弦定理,.因此,的取值范围是.故答案为:.【答案点睛】本题主要考查了正弦定理,正弦函数图象和性质,考查了转化思想,属于基础题14、【答案解析】根据分段函数的性质,即可求出的取值范围.【题目详解】当时, ,当时,所以,故的取值范围是.故答案为:.【答案点睛】本题考查分段函数的性质,已知分段函数解析式求参数范围,还涉及对数和指数的运算,属于基础题.15、【答案解析】结合等差数列的前项和公式,可得,求解即可.【题目详解】由题意,因为,所以.故答案为:.【答案点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.16、【答案解析】令,与参数无关,即可得到定点.【题目详解】由指数函数的性质,可得,函数值与参数无关,所有过定点.故答案为:【答案点睛】此题考查函数的定点问题,关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关,熟记常见函数的定点可以节省解题时间.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)证明见解析【答案解析】(1)依题意可得,考虑到,则有再分类讨论可得;(2)要证明,即证,即证.利用基本不等式即可得证;【题目详解】解:(1)由及,得,考虑到,则有,它可化为或即或前者无解,后者的解集为,综上,的取值范围是.(2)要证明,即证,由,得,即证.因为(当且仅当,时取等号).所以成立,故成立.【答案点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式,基本不等式的应用,属于中档题.18、(1)证明见解析(2)【答案解析】(1)先证明EF平面,即可求证;(2)根据二面角的余弦值,可得平面,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量计算线面角即可.【题目详解】(1)连接,交于点,连结.则,故面.又面,因此.(2)由(1)知即为二面角的平
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