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中考数学压轴题解析大集合 -10.已知二次函数的图象经过点A(3,6),并与x轴交于点B(1,0)和点C,顶点为P.(1)求这个二次函数的解析式,并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象;(2)设D为线段OC上的一点,满足DPCBAC,求点D的坐标;(3)在x轴上是否存在一点M,使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切?如果存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解 (1)解:二次函数的图象过点A(3,6),B(1,0)xOy得解得这个二次函数的解析式为:由解析式可求P(1,2),C(3,0)画出二次函数的图像 (2)解法一:易证:ACBPCD45又已知:DPCBACDPCBAC易求 解法二:过A作AEx轴,垂足为E.设抛物线的对称轴交x轴于F.亦可证AEBPFD、.易求:AE6,EB2,PF2 (3)存在.(1)过M作MHAC,MGPC垂足分别为H、G,设AC交y轴于S,CP的延长线交y轴于TSCT是等腰直角三角形,M是SCT的内切圆圆心,MGMHOM又且OMMCOC(2)在x轴的负半轴上,存在一点M同理OMOCMC,得 M即在x轴上存在满足条件的两个点.MT11-1-24-323056E-1-223ACxyBDMFSGHP11.在平面直角坐标系中,A(1,0),B(3,0).(1)若抛物线过A,B两点,且与y轴交于点(0,3),求此抛物线的顶点坐标;(2)如图,小敏发现所有过A,B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C,M为抛物线的顶点,那么ACM与ACB的面积比不变,请你求出这个比值;(3)若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E,F,与y轴交于点C,过C作CPx轴交l于点P,M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60的菱形,求次抛物线的解析式.ABCMOxy解 (1),顶点坐标为(1,4).(2)由题意,设ya(x1)(x3),即yax22ax3a, A(1,0),B(3,0),C(0,3a),M(1,4a), SACB46,而a0, SACB6A、作MDx轴于D,又SACMSACO SOCMD SAMD13a(3a4a)24aa, SACM:SACB1:6.(3)当抛物线开口向上时,设ya(x1)2k,即yax22axak,有菱形可知,ak0,k0, k, yax22ax, .记l与x轴交点为D,若PEM60,则FEM30,MDDEtan30, k,a, 抛物线的解析式为.若PEM120,则FEM60,MDDEtan60, k,a, 抛物线的解析式为.当抛物线开口向下时,同理可得,.12.已知:在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象与x轴交于点A,抛物线经过O、A两点。(1)试用含a的代数式表示b;(2)设抛物线的顶点为D,以D为圆心,DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折,翻折后的劣弧落在D内,它所在的圆恰与OD相切,求D半径的长及抛物线的解析式;(3)设点B是满足(2)中条件的优弧上的一个动点,抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。解 (1)解法一:一次函数的图象与x轴交于点A 点A的坐标为(4,0) 抛物线经过O、A两点 解法二:一次函数的图象与x轴交于点A 点A的坐标为(4,0) 抛物线经过O、A两点 抛物线的对称轴为直线 (2)由抛物线的对称性可知,DODA 点O在D上,且DOADAO 又由(1)知抛物线的解析式为 点D的坐标为() 当时, 如图1,设D被x轴分得的劣弧为,它沿x轴翻折后所得劣弧为,显然所在的圆与D关于x轴对称,设它的圆心为D 点D与点D也关于x轴对称 点O在D上,且D与D相切 点O为切点 DOOD DOADOA45 ADO为等腰直角三角形 点D的纵坐标为 抛物线的解析式为 当时, 同理可得: 抛物线的解析式为 综上,D半径的长为,抛物线的解析式为或 (3)抛物线在x轴上方的部分上存在点P,使得 设点P的坐标为(x,y),且y0 当点P在抛物线上时(如图2) 点B是D的优弧上的一点 过点P作PEx轴于点E 由解得:(舍去) 点P的坐标为 当点P在抛物线上时(如图3) 同理可得, 由解得:(舍去) 点P的坐标为 综上,存在满足条件的点P,点P的坐标为 或13.在直角坐标系中,经过坐标原点O,分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。 (1)如图,过点A作的切线与y轴交于点C,点O到直线AB的距离为,求直线AC的解析式; (2)若经过点M(2,2),设的内切圆的直径为d,试判断d+AB的值是否会发生变化,如果不变,求出其值,如果变化,求其变化的范围。解 (1)如图1,过O作于G,则 设 (3,0) AB是的直径 切于A, 在中 设直线AC的解析式为,则 直线AC的解析式为 (2)结论:的值不会发生变化 设的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T,如图2所示图2 则 在x轴上取一点N,使AN=OB,连接OM、BM、AM、MN 平分 的值不会发生变化,其值为4。14.已知:O是坐标原点,P(m,n)(m0)是函数y (k0)上的点,过点P作直线PAOP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(am). 设OPA的面积为s,且s1. (1)当n1时,求点A的坐标; (2)若OPAP,求k的值; (3 ) 设n是小于20的整数,且k,求OP2的最小值. 解 过点P作PQx轴于Q,则PQn,OQm(1) 当n1时, s a (2) 解1: OPAP PAOP OPA是等腰直角三角形 mn 1an 即n44n240 k24k40 k2 解2: OPAP PAOP OPA是等腰直角三角形 mn 设OPQ的面积为s1则:s1 mn(1)即:n44n240 k24k40 k2 (3) 解1: PAOP, PQOA OPQOAP 设:OPQ的面积为s1,则 即: 化简得:2n42k2k n44k0 (k2)(2kn4)0k2或k(舍去) 当n是小于20的整数时,k2. OP2n2m2n2又m0,k2, n是大于0且小于20的整数当n1时,OP25当n2时,OP25当n3时,OP2329 当n是大于3且小于20的整数时,即当n4、5、6、19时,OP2得值分别是:42、52、62、192192182325 OP2的最小值是5. 解2: OP2n2m2n2 n2 (n)4 当n 时,即当n时,OP2最小;又n是整数,而当n1时,OP25;n2时,OP25 OP2的最小值是5. 解3: PAOP, PQOA OPQP AQ 化简得:2n42k2k n44k0 (k2)(2kn4)0k2或k(舍去) 解4: PAOP, PQOA OPQP AQ 化简得:2n42k2k n44k0 (k2)(2kn4)0k2或k(舍去) 解5: PAOP, PQOA OPQOAP OP2OQOA化简得:2n42k2k n44k0 (k2)(2kn4)0k2或k(舍去) 15.如图,在直角坐标系中,O是原点,A、B、C三点的坐标分别为A(18,0),B(18,6),C(8,6),四边形OABC是梯形,点P、Q同时从原点出发,分别坐匀速运动,其中点P沿OA向终点A运动,速度为每秒1个单位,点Q沿OC、CB向终点B运动,当这两点有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动。(1)求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。(2)试在中的抛物线上找一点D,使得以O、A、D为顶点的三角形与AOC全等,请直接写出点D的坐标。(3)设从出发起,运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位,试写出点Q的坐标,并写出此时t的取值范围。QAPOC(8,6)B(18,6)A(18,0)xy(4)设从出发起,运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半,这时,直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分,如有可能,请求出t的值;如不可能,请说明理由。解 (1)O、C两点的坐标分别为O,C设OC的解析式为,将两点坐标代入得:, A,O是轴上两点,故可设抛物线的解析式为再将C代入得: (2)D(3)当Q在OC上运动时,可设Q,依题意有:,Q,当Q在CB上时,Q点所走过的路程为,OC10,CQQ点的横坐标为,Q, (4)梯形OABC的周长为44,当Q点OC上时,P运动的路程为,则Q运动的路程为OPQ中,OP边上的高为:梯形OABC的面积,依题意有
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