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数学分析总结知识点总结数学分析知识点总结第一章实数集与函数1实数讲课章节:第一章实数集与函数1实数教课目的:使学生掌握实数的基天性质教课要点:理解并熟练运用实数的有序性、茂密性和封闭性;牢记并熟练运用实数绝对值的相关性质以及几个常有的不等式(它们是分析论证的重要工具)教课难点:实数集的看法及其应用教课方法:解说(部分内容自学)教课程序:前言上节课中,我们与大家共同商讨了数学分析这门课程的研究对象、主要内容等话题从本节课开始,我们就基本依据教材次序给大家介绍这门课程的主要内容第一,从大家都较为熟习的实数和函数开始问题为何从“实数”开始数学分析知识点总结答:数学分析研究的基本对象是函数,但这里的“函数”是定义在“实数集”上的(xx课复变函数研究的是定义在复数集上的函数)为此,我们要先认识一下实数的相关性质一、实数及其性质1、实数问题有理数与无理数的表示不一致,这对一致谈论实数是不利的为以下谈论的需要,我们把“有限小数”(包含整数)也表示为“无穷小数”为此作以下规定:关于正有限小数此中,记;关于正整数则记;关于负有限小数(包含负整数),则先将表示为无穷小数,此刻所得的小数从前加负号0表示为0例:;32.9999;2.0012.009999;32.9999利用上述规定,任何实数都可用一个确立的无穷小数来表示在此规定下,如何比较实数的大小?数学分析知识点总结2、两实数大小的比较1)定义1给定两个非负实数,.此中为非负整数,为整数,若有,则称与相等,记为;若或存在非负整数,使得,而,则称大于或小于,分别记为或关于负实数、,若按上述规定分别有或,则分别称为与(或)规定:任何非负实数大于任何负实数2)实数比较大小的等价条件(经过有限小数来比较)定义2(不足近似与节余近似):为非负实数,称有理数为实数的位不足近似;称为实数的位节余近似,.关于负实数,其位不足近似;位节余近似.注:实数的不足近似当增大时不减,即有;节余近似当n增大时不增,即有命题:记,为两个实数,则的等价条件是:存在非负整数n,使(此中为的位不足近似,为的位节余近似)命题应用1设为实数,证明存在有理数,满足证明:由,知:存在非负整数n,使得令,则r为有理数,且即数学分析知识点总结3、实数常用性质(详见附录)1)封闭性(实数集对)四则运算是封闭的即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)还是实数2)有序性:,关系,三者必居其一,也只居其一.3)传达性:,4)阿基米品德:使得5)茂密性:两个不等的实数之间总有另一个实数6)一一对应关系:实数集与数轴上的点有着一一对应关系2设,证明:若对任何正数,有,则(提示:反证法利用“有序性”,取)二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数的绝对值的定义为2、几何意义从数轴看,数的绝对值就是点到原点的距离表示就是数轴上点与之间的距离3、性质数学分析知识点总结1)(非负性);2);3),;4)对任何有(三角不等式);5);6)()三、几个重要不等式1、2、均值不等式:对记(算术均匀值)(几何均匀值)(调停均匀值)有均匀值不等式:即:nna1a2a1a2an11ann1a1a2an等号当且仅当时建立.数学分析知识点总结3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学xx证明过)有不等式当且,且时,有严格不等式证:由且nn(1x)nn(1x).(1x)n1nx.4、利用二项xx获取的不等式:对由二项xx(1h)n1nhn(n1)h2n(n1)(n2)h3hn,2!3!有上式右端任何一项.练习P45课堂小结:实数:.作业P41(1),2(2)、(3),32数集和确界原理讲课章节:第一章实数集与函数2数集和确界原理教课目的:使学生掌握确界原理,建立起实数确界的清楚看法.教课要求:数学分析知识点总结掌握邻域的看法;理解实数确界的定义及确界原理,并在相关命题的证明中正确地加以运用.教课要点:确界的看法及其相关性质(确界原理).教课难点:确界的定义及其应用.教课方法:解说为主.教课程序:先经过练习形式复习上节课的内容,以检验学习成效,今后导入新课.前言上节课中我们对数学分析研究的要点问题作了简要谈论;今后又让大家自学了第一章1实数的相关内容.下边,我们先来检验一下自学的成效如何!1、证明:对任何有:(1);(2).()()2、证明:.3、设,证明:若对任何正数有,则.数学分析知识点总结4、设,证明:存在有理数满足.引申:由题1可联想到什么样的结论呢?这样思虑是做科研时的常常的思路之一.而不要做完就完了!而要多想一想,能否详尽问题引出一般的结论:一般的方法?由上述几个小题可以领悟出“大学数学”习题与中学的不一样;理论性强,看法性强,推理有理有据,而非凭想象象;课后未部署作业的习题要尽可能多做,以加深理解,语言应用.提请注意这种差异,赶忙掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容:1、先定义实数集R中的两类主要的数集区间与邻域;2、谈论有界集与无界集;3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理(确界原理).一、区间与邻域1、区间(用来表示变量的变化范围)设且.,此中开区间:xR|axb(a,b)闭区间:xR|axba,b有限区间闭开区间:xR|axba,b)半开半闭区间xR|axb(a,b开闭区间:数学分析知识点总结xR|xaa,).xR|xa(,a.无穷区间xR|xa(a,).xR|xa(,a).xR|xR.2、邻域联想:“邻居”.字面意思:“周边的地域”.与周边的“地域”好多,究竟哪一类是我们所要讲的“邻域”呢?就是“关于的对称区间”;如何用数学语言来表达呢?(1)的邻域:设,满足不等式的全体实数的会集称为点的邻域,记作,或简记为,即.此中(2)点的空心邻域.(3)的右邻域和点的空心右邻域U(a;)a,a)U(a)xaxa;U0(a;)(a,a)U0(a)xaxa.(4)点的左邻域和点的空心左邻域数学分析知识点总结U(a;)(a,aU(a)xaxa;U0(a;)(a,a)U0(a)xaxa.(5)邻域,邻域,邻域(此中M为充分大的正数);U()xxM,U()xxM二、有界集与无界集1、定义1(上、下界):设为中的一个数集.若存在数,使得全部都有,则称S为有上(下)界的数集.数称为S的上界(下界);若数集S既有上界,又有下界,则称S为有界集.闭区间、开区间为有限数)、邻域等都是有界数集,会集也是有界数集.若数集S不是有界集,则称S为无界集.等都是无界数集,会集也是无界数集.注:1)上(下)界若存在,不独一;2)上(下)界与S的关系如何?看下例:例1谈论数集的有界性.数学分析知识点总结解:任取,明显有,所以有下界1;但无上界.因为假设有上界M,则M0,按定义,对任意,都有,这是不行能的,如取则,且.综上所述知:是有下界无上界的数集,因此是无界集.例2证明:(1)任何有限区间都是有界集;(2)无穷区间都是无界集;(3)由有限个数构成的数集是有界集.问题:若数集S有上界,上界是独一的吗?对下界呢?(答:不独一,有无量多个).三、确界与确界原理1、定义定义2(上确界)设S是R中的一个数集,若数满足:(1)对全部有(即是S的上界);(2)对任何,存在,使得(即是S的上界中最小的一个),则称数为数集S的上确界,记作从定义中可以得出:上确界就是上界中的最小者.命题1充要条件1);2).证明:必需性,用反证法.设2)不行立,则,与是上界中最小的一个矛盾.数学分析知识点总结充分性(用反证法),设不是的上确界,即是上界,但.令,由2),使得,与是的上界矛盾.定义3(下确界)设S是R中的一个数集,若数满足:(1)对全部有(即是S的下界);(2)对任何,存在,使得(即是S的下界中最大的一个),则称数为数集S的下确界,记作.从定义中可以得出:下确界就是下界中的最大者.命题2的充要条件:1);2)0,上确界与下确界统称为确界.3(1)则1;0.2)则1;0.注:非空有界数集的上(或下)确界是独一的.命题3:设数集有上(下)确界,则这上(下)确界必是独一的.证明:设,且,则不如设有对,使,矛盾.例:,数学分析知识点总结则有.开区间与闭区间有相同的上确界与下确界4设和是非空数集,且有则有.5设和是非空数集.若对和都有则有证明:是的上界,是的下界,6和为非空数集,试证明:证明:有或由和分别是和的下界,有或即是数集的下界,又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有于是有.综上,有.数集与确界的关系:确界不必定属于原会集.以例3为例做解说.确界与最值的关系:设为数集.( 1)的最值必属于,但确界未必,确界是一种临界点.数学分析知识点总结(2)非空有界数集必有确界(见下边的确界原理),但未必有最.(3)若存在,必有对下确界有近似的结论.确界原理:Th1.1(确界原理).设非空的数集.若有上界,则必有上确界;若有下界,则必有下确界.这里我们给一个可以接受的说明非空,我们可以找到一个整数,使得不是上界,而是的上界.而后我们遍查和,我们可以找到一个,使得不是上界,是上界,假如再找第二位小数,这样下去,最后获取,它是一个实数,即为的上确界.证明:(书上对上确界的状况给出证明,下边讲对下确界的证明)不如设中的元素都为非负数,则存在非负整数,使得1),有;2)存在,有;把区间10均分,分点为n.1,.2,,.9,存在,使得1),有;2)存在,使得再对开区间10均分,同理存在,使得1)对任何,有;2)存在,使连续重复此步骤,知对任何,存在使得1)对任何,;数学分析知识点总结2)存在,所以获取以下证明()对任意,;()对任何,存在使作业:P91(1),(2);2;4(2)、(4);3函数看法讲课章节:第一章实数集与函数3函数看法教课目的:使学生深刻理解函数看法.教课要求:()深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义,熟习函数的各种表示法;()牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域,会分析初等函数的复合关系.教课要点:函数的看法.教课难点:初等函数复合关系的分析.教课方法:课堂解说,辅以发问、练习、部分内容可自学.数学分析知识点总结教课程序:前言关于函数看法,在中学数学中已有了初步的认识.为便于今后的学习,
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