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第十单元第4讲 合情推理与演绎推理及直接证明与间接证明一基础知识1合情推理(1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理(3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理2演绎推理(1)演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:大前提已知的一般原理;小前提所研究的特殊情况;结论根据一般原理,对特殊情况作出的判断3直接证明(1)综合法定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法框图表示:(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示要证的结论)(2)分析法定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法框图表示:.4间接证明一般地,由证明pq转向证明:綈qrt.t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾从而判定綈q为假,推出q为真的方法,叫做反证法二.题型分析题型1. 归纳推理题1. (1)已知经过计算和验证有下列正确的不等式:2,2,2,根据以上不等式的规律,请写出一个对正实数m,n都成立的条件不等式_解析观察所给不等式可以发现:不等式左边两个根式的被开方数的和等于20,不等式的右边都是2,因此对正实数m,n都成立的条件不等式是:若m,nR,则当mn20时,有2.答案若m,nR,则当mn20时,有2(2)如下图所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(色括两个端点)有n(nl,nN*)个点,相应的图案中总的点数记为an,则+=A B C D【答案】B【解析】由图案的点数可知,所以,所以,所以+,选B.(3)定义映射,其中,已知对所有的有序正整数对满足下述条件:;若,;,则 , 【答案】 【解析】根据定义得。,所以根据归纳推理可知。题型2. 类比推理题2. (1)在平面几何里,有“若ABC的三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,则三角形面积为SABC(abc)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,则四面体的体积为_”审题视点 注意发现其中的规律总结出共性加以推广,或将结论类比到其他方面,得出结论解析三角形的面积类比为四面体的体积,三角形的边长类比为四面体四个面的面积,内切圆半径类比为内切球的半径二维图形中类比为三维图形中的,得V四面体ABCD(S1S2S3S4)r.答案V四面体ABCD(S1S2S3S4)r.(2)已知命题:“若数列an为等差数列,且ama,anb(mn,m,nN*),则amn”现已知数列bn(bn0,nN*)为等比数列,且bma,bnb(mn,m,nN*),若类比上述结论,则可得到bmn_.答案a题型3. 综合法的应用题3. 设a,b,c0,证明:abc.审题视点 用综合法证明,可考虑运用基本不等式证明a,b,c0,根据均值不等式,有b2a,c2b,a2c.三式相加:abc2(abc)当且仅当abc时取等号即abc.题型4.分析法的应用题4. 已知m0,a,bR,求证:2.审题视点 先去分母,合并同类项,化成积式证明m0,1m0.所以要证原不等式成立,只需证明(amb)2(1m)(a2mb2),即证m(a22abb2)0,即证(ab)20,而(ab)20显然成立,故原不等式得证题型5.反证法的应用题5. 已知a,b为非零向量,且a,b不平行,求证:向量ab与ab不平行证明假设向量ab与ab平行,即存在实数使ab(ab)成立,则(1)a(1)b0,a,b不平行,得所以方程组无解,故假设不成立,故原命题成立题6. 设直线l1:yk1x1,l2:yk2x1,其中实数k1,k2满足k1k220.(1)证明l1与l2相交;(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2y21上 第(1)问采用反证法,第(2)问解l1与l2的交点坐标,代入椭圆方程验证解答示范 证明(1)假设l1与l2不相交,则l1与l2平行或重合,有k1k2,(2分)代入k1k220,得k20.(4分)这与k1为实数的事实相矛盾,从而k1k2,即l1与l2相交(6分)(2)由方程组解得交点P的坐标(x,y)为(9分)从而2x2y22221,此即表明交点P(x,y)在椭圆2x2y21上(12分)1.右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第行第列的数为(),则等于 ,.【答案】 【解析】由题意可知第一列首项为,公差,第二列的首项为,公差,所以,所以第5行的公比为,所以。由题意知,所以第行的公比为,所以2.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点,且法向量为的直线(点法式)方程为,化简得类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点,且法向量为的平面(点法式)方程为 【答案】【解析】设为平面内的任一点,由得,即3.如图1,平面中ABC的角C的内角平分线CE分ABC面积所成的比 ,把这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD(如图2)中,平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E,则类比的结论是 【分析及解】利用类比的思想可得结论: 4. 如下图,对大于或等于2的自然数的次幂进行如下方式的“分裂”: 仿此,的“分裂”中最大的数是 ; 的“分裂”中最大的数是 ;答案:11(本空2分);(为奇数)的“分拆”的最大数是,所以(本空3分,写成“”或“”都给3分)5. 无穷数列 的首项是,随后两项都是,接下来项都是,再接下来项都是,以此类推.记该数列为,若,则 答案:【解析】将分组成。 第组有个数,第组有个数,以此类推. 显然在第组,在第组。 易知,前20组共个数. 所以,。6. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们到直线的距离之和等于5,则这样的直线A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在【答案】本题答案应为D(试题提供的答案是B)【解析】抛物线的焦点坐标为,准线方程为。若直线AB的斜率不存在,则横坐标之和等于6,不适合故设直线AB的斜率为k,则直线AB为,代入抛物线y2=4x得,所以。因为A,B到直线的距离之和等于5,即,即,所以,解得,显然不成立,所以不存在这样的直线,选D.7.已知数列an的前n项和为Sn,且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式;(2)求证数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列尝试解答(1)当n1时,a1S12a12,则a11.又anSn2,所以an1Sn12,两式相减得an1an,所以an是首项为1,公比为的等比数列,所以an.(2)反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap1,aq1,ar1(pqr,且p,q,rN*),则2,所以22rq2rp1.又因为pqr,所以rq,rpN*.所以式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立,所以假设不成立,原命题得证8.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。(1)sin213+cos217-sin13cos17(2)sin215+cos215-sin15cos15(3)sin218+cos212-sin18cos12(4)sin2(-18)+cos248- sin2(-18)cos248(5)sin2(-25)+cos255- sin2(-25)cos255 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 根据()的计算结果,将该同学的发现推广位三角恒等式,并证明你的结论。【答案】
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