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长春市普通高中2016届高三质量监测(二)数学文科第卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项涂在答题卡上)1. 复数,在复平面内对应的点关于直线对称,且,则A. B. C. D. 2. 若实数且,则下列不等式恒成立的是A. B. C. D. 3. 设集合,则A. B. C. D. 4. 运行如图所示的程序框图,则输出的值为是否开始输出结束A. B. C. D. 5. 已知为圆的一条直径,点为直线上任意一点,则的最小值为A.B. C. D. 6. 几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为A. B. C. D. 7. 以正方形的一条边的两个端点为焦点,且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为A. B. C. D. 8. 已知为椭圆上的点,点为圆上的动点,点为圆上 的动点,则的最大值为A. B. C. D. 9. 已知等差数列的前项和为,且,当取最大值时,的值为A. B. C. D. 10. 已知函数,当时,若在区间内,有两个不同的零点,则实数的取值范围是A.B. C. D. 11. 函数的零点所在的区间是 A. B. C. D. 12. 已知直线与圆相交于、两点,设、分别是以为终边的角,则 A. B. C. D. 第卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分,第13题21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 命题“,”的否定是_.14. 已知实数满足,则的最小值为_.15. 已知向量,则当时,的取值范围是_.16. 已知数列中,对任意的,若满足(为常数),则称该数列为阶等和数列,其中为阶公和;若满足(为常数),则称该数列为阶等积数列,其中为阶公积.已知数列为首项为的阶等和数列,且满足;数列为首项为,公积为的阶等积数列,设为数列的前项和,则 _.三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).17.(本小题满分12分) 已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调减区间; (2) 已知的三个内角的对边分别为,其中,若锐角满足,且,求的值.18. (本小题满分12分)近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功的交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为,对服务的好评率为,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次. (1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关?(2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,并从中选择两次交易进行客户回访,求只有一次好评的概率.(,其中)19. (本小题满分12分)在四棱锥中,底面是菱形,平面,点为棱的中点,过作与平面平行的平面与棱,相交于,.(1)证明:为的中点;(2)已知棱锥的高为,且, 、的交点为,连接.求三棱锥外接球的体积.20. (本小题满分12分)椭圆的左右焦点分别为,,且离心率为,点为椭圆上一动点,面积的最大值为.(1)求椭圆的方程;(2) 设椭圆的左顶点为,过右焦点的直线与椭圆相交于,两点,连结, 并延长分别交直线于,两点,问是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.21. (本小题满分12分)已知函数在点处的切线与轴平行.(1)求实数的值及的极值;(2)若对任意,有,求实数的取值范围;请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)选修41:几何证明选讲.如图,过圆外一点的作圆的切线,为切点,过的中点的直线交圆于、两点,连接并延长交圆于点,连接交圆于点,若.(1)求证:;(2) 求证:四边形是平行四边形.23. (本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(是参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;(2)若曲线与曲线交于,两点,求的最大值和最小值.24. (本小题满分10分)选修45:不等式选讲.设函数.(1)若不等式恒成立,求实数的取值范围;(2) 若不等式恒成立,求实数的取值范围.长春市普通高中2016届高三质量监测(二)数学(文科)参考答案及评分参考一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分)1. D【命题意图】本题考查复平面上的点与复数的关系,属于基础题.【试题解析】D复数在复平面内关于直线对称的点表示的复数,故选D.2. C【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质,是书中的原题改编,考查学生对函数图像的认识. 【试题解析】C根据函数的图像与不等式的性质可知:当时,为正确选项,故选C.3. C【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算,属于基础题. 【试题解析】C 由题意可知,则,所以. 故选C.4. A【命题意图】本题考查程序流程图中循环结构的认识,是一道基本题. 【试题解析】A由算法流程图可知,输出结果是首项为,公比也为的等比数列的前9项和,即为. 故选A.5. A【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的运算. 【试题解析】A由题可知,从圆外一点指向圆直径的两个端点的向量数量积为定值,即为,其中为圆外点到圆心的距离,为半径,因此当取最小值时,的取值最小,由方程的图像可知的最小值为,故的最小值为1. 故选A.6. C【命题意图】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法,对学生运算求解能力有一定要求. 【试题解析】C该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥,所以其体积为. 故选C.7. A【命题意图】本题考查椭圆与双曲线离心率的概念,属于基础题.【试题解析】A 以正方形的一条边的两个端点为焦点,且过另外两个顶点的椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,故他们的积为1,故选A. 8. B【命题意图】本题主要考查椭圆的定义,是一道中档题. 【试题解析】B 由题可知,故选B.9. B【命题意图】本题考查等差数列的性质,借助前项的取值确定项数,属于基础题.【试题解析】B由题意,不妨设,则公差,其中,因此,即当时,取得最大值. 故选B.10. D【命题意图】本题是最近热点的函数图像辨析问题,是一道较为复杂的难题. 【试题解析】D 由题可知函数在上的解析式为,可将函数在上的大致图像呈现如图:根据的几何意义,轴位置和图中直线位置为表示直线的临界位置,因此直线的斜率的取值范围是. 故选D.11. C【命题意图】本题主要考查函数的零点问题,将零点问题转化为交点问题,是解决本题的关键.【试题解析】C由题意,求函数的零点,即为求两个函数的交点,可知等号左侧为增函数,而右侧为减函数,故交点只有一个,当时,当时,因此函数的零点在内. 故选C.12. D【命题意图】本题是关于三角函数的综合问题,属于中档题. 【试题解析】D 作直线的中垂线,交圆于两点,再将轴关于直线对称,交圆于点,则,如图所示,而,故. 故选D.二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分)13. ,【命题意图】本题考查全称命题的否定,是一道基本题. 【试题解析】由题意可知,命题“,”的否定是:,. 14. 1【命题意图】本题主要考查线性规划问题,是一道常规题. 从二元一次方程组到可行域,再结合目标函数的几何意义,全面地进行考查. 【试题解析】根据方程组获得可行域如下图,令,可化为,因此,当直线过点时,取得最小值为1. 15. 【命题意图】本题考查积分的运算,是一道中档的常规问题. 【试题解析】由题意,为,根据向量的差的几何意义,表示向量终点到终点的距离,当时,该距离取得最小值为1,当时,根据余弦定理,可算得该距离取得最大值为,即的取值范围是. 16. 【命题意图】本题主要考查非常规数列求和问题,对学生的逻辑思维能力提出很高要求,属于一道难题. 【试题解析】由题意可知,又是3阶等和数列,因此该数列将会照此规律循环下去,同理,又是2阶等积数列,因此该数列将会照此规律循环下去,由此可知对于数列,每6项的和循环一次,易求出,因此中有336组循环结构,故. 三、解答题(本大题必做题5小题,三选一选1小题,共70分)17.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查三角函数的化简运算,以及三角函数的性质,并借助正弦定理考查边角关系的运算,对考生的化归与转化能力有较高要求. 【试题解析】解:(1) ,因此的最小正周期为. 的单调递减区间为,即. (6分)(2) 由,又为锐角,则. 由正弦定理可得,则,由余弦定理可知,可求得. (12分)18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,对考生的对数据处理的能力有很高要求.【试题解析】(1) 由题意可得关于商品和服务评价的列联表:对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200,可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关. (6分)(2) 若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,则好评的交易次数为3次,不满意的次数为2次,令好评的交易为,不满意的交易为,从5次交易中,取出2次的所有取法为、,共计10种情况,其中只有一次好评的情况是、,共计6种,因此,只有一次好评的概率为 (6分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到面面的平行关系在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求. 【试题解析】解:(1)连结.,即为的中位线,即为中点. (6分)(2) 由(1)知,且,即三棱锥外接球为以、为长、宽、高的长方体外接球,则该长方体的体对角线长为,即外接球半径为. 则三棱锥外接球的体积为. (12分)20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到椭圆方程的求法,直线与圆锥曲线的相关知识,以及恒过定点问题. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解:(1) 已知椭圆的离心率为,不妨设,即,其中,又面积取最大值时,即点为短轴端点,因此,解得,则椭圆的方程为. (4分)(2) 设直线的方程为, 联立可得,则,直线的方程为, 直线的方程为, 则, 则,则,即为
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