第5讲 讲立方根与估算概 述 适用学科初中数学适用年级初二适用区域北师版区域课时时长（分钟）120知识点立方根估算无理数的大小用估算比较两个数的大小计算无理数的整数部分和小数部分教学目标1、掌握立方根的定义以及正数、负数、0的立方根的特点.1、会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题教学重点掌握立方根的定义.估算无理数的大小用估算比较两个数的大小计算无理数的整数部分和小数部分教学难点运用所学知识解决问题.【教学建议】 从现实情境引入，一方面让学生初步建立数感，另一方面让学生体会生活中的数学从而激发学习的积极性学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值【知识导图】教学过程一、导入温故知新1计算： ， ， ， ， ， ， 。2.填一填：，二、知识讲解考点1 立方根及其性质1.要制作一种容积为27的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？解：设这种包装箱的边长是，则有 =27 想一想：这个问题，其实就是已知一个数的立方，反过来求这个数。即已知2.什么叫立方根？什么叫开立方？一般的，如果一个数的 等于，即，那么这个数叫做 立方根或 ，叫做 。 求一个数的 的运算，叫做 .立方与 互为逆运算。填一填：，125的立方根是 ；，0的立方根是 ；，8的立方根是 ；，的立方根是 ；.正数的立方根是 数； 0的立方根是 ；负数的立方根是 数。考点2 估算由修建环保公园的实际问题情境引出本节课的学习内容公园有多宽某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园已知这块地的长是宽的两倍，它的面积为400000平方米此时公园的宽是多少?长是多少?给出这个问题情境，先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少给出引导问题：公园的宽有1000米吗？（没有）那么怎么计算出公园的长和宽解：设公园的宽为x米，则它的长为2x米，由题意得： x2x =400000， 2x=400000， x =那么=?学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值例1 下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流20 ； 0.3；500； 96解答：这些结果都不正确怎样估算一个无理数的范围?例2 你能估算它们的大小吗？说出你的方法 ； ； ； （ 误差小于0.1；误差小于10；误差小于1）解答：6.3 ； 0.9； 310 ； 9说明：误差小于10就是估算出的值与准确值之间的差的绝对值小于10，所以的估算值在误差小于10的前提下可以是310，也可以是320，还可以是310到320之间的任何数教材使用误差小于10，而不用精确到哪一位，目的在于降低要求。目的：同伴间进行交流，教师适时引导在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结，和学生一起归纳出估算的方法让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力效果：通过简单无理数大致范围的估计，初步积累一些解决问题的经验，为接下来的实际应用做好准备深入探究内容：用估算来解决数学的实际问题例1 你能比较与的大小吗？你是怎样想的？小明是这样想的：与的分母相同，只要比较他们的分子就可以了，因为2，所以-11， 解：54，即（）2， 2，-11，即例2 解决引入时“公园有多宽？”的问题情境中提出的问题=?（1）如果要求误差小于10米，它的宽大约是？ （大约440米或450米）说明：只要是440与450之间的数都可以（2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗（误差小于1米）？ （15米或16米）说明：只要是15与16之间的数都可以例3 给出新的问题情境画能挂上去吗？生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，（1）他的顶端最多能到达多高（保留到0.1）？ （2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高5.9米的地方张贴一副宣传画，他能办到吗？66x解：设梯子稳定摆放时的高度为x米，此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的，根据勾股定理 ：，x=，因为,5.6532，所以他的顶端最多能到达5.7米5.75.9所以画不能挂上去目的：学生通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值效果：在解决实际问题中再次体会估算的方法，从而体验到学习数学的乐趣三 、例题精析类型一 立方根1. 的立方根是( ) A.-1 B.0 C.1 D.1【解析】C 【总结与反思】考查立方根的定义2.若一个数的立方根是-3,则该数为( ) A.- B.-27 C. D.27【解析】B【总结与反思】考查立方根与立方互为逆运算3.下列判断：一个数的立方根有两个，它们互为相反数；若，则x=-2；15的立方根是；任何有理数都有立方根，它不是正数就是负数.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】B【总结与反思】考查立方根及其性质类型二 估算及比较大小【例题】估计的值在（ ）（A）3到4之间 （B） 4到5之间 （C）5到6之间 （D）6到7之间【解析】C【总结与反思】平方法估算数的大小2、若a，b是两个连续整数，且ab，则ab= 。【解析】20【总结与反思】平方法估算数的大小3、一个正方形的面积为50cm，则这个正方形的边长约为（ ）（A）5cm （B）6cm （C）7cm （D）8cm 【解析】C【总结与反思】平方法估算数的大小4、估算 （误差小于0.1）； （误差小于1）。【解析】4.5,6【总结与反思】平方法估算数的大小考点三：计算无理数的整数部分和小数部分【例题】1、估算的整数部分是 ，小数部分是的 。【解析】5，-4【总结与反思】 先部分估算无理数（根号）部分的大小，再整体估算2、若的整数部分是a，的整数部分是b，则a-b= 。【解析】-1【总结与反思】平方（立方）法估算数的大小基础1.立方根等于本身的数为_.2. 的平方根是_.3一个正方形的面积为28，则它的边长应在（）A3到4之间B4到5之间C5到6之间D6到7之间4如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（）A4的算术平方根B4的立方根C8的算术平方根D8的立方根答案与解析1.【答案】0,1,-1【解析】立方根等于它本身的数2. 【答案】2【解析】平方根立方根综合应用3. 【答案】B【解析】估算数的大小4. 【答案】D【解析】估算数的大小巩固1.若x-1是125的立方根，则x-7的立方根是_.2下列各组数的比较，错误的是（）AB1.732C1.414D3.14答案与解析1.【答案】-1【解析】立方根的运算2. 【答案】C【解析】平方法比较大小拔高1.计算的正确结果是( )2.-27的立方根与的平方根之和是_.3已知a，b为两个连续整数，且，则a+b=_答案与解析1.【答案】-7【解析】求立方根2.【答案】0或-6【解析】平方根与立方根的混合应用3.【答案】7【解析】估算五 、课堂小结 本节讲了2个重要内容：立方根的定义及性质,2估算及比较大小.六 、课后作业1.求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) .2.下列说法正确的是( ) A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B.一个数的立方根比这个数平方根小 C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D. 与互为相反数3.12的负的平方根介于（）A5与4之间B4与3之间C3与2之间D2与1之间答案与解析1.【答案】(1)0.1； (2)- ； (3)- .【解析】求立方根2.【答案】D【解析】立方根及其性质3.【答案】B【解析】估算巩固1.已知2x+1的平方根是5，则5x+4的立方根是_.2.若与(b-27)互为相反数，求的立方根.3若n=6，则估计n的值所在范围，下列最接近的是（）A4n5B3n4C2n3D1n24比较的大小，正确的是（）ABCD 答案与解析1.【答案】4【解析】由平方根求立方根2.【答案】由题意知a=-8，b=27，所以=-5.故的立方根是【解析】平方根与立方根的运算3.【答案】D【解析】估算 4.【答案】A【解析】比较大小拔高1如图，在数轴上点A和点B之间的整数是_2规定用符号x表示一个实数的整数部分，例如3.69=3=1，按此规定，1=_3.很久很久以前,在古希腊的某个地方发生大旱,地里的庄稼都干死了,人们找不到水喝,于是大家一起到神庙里去向神祈求.神说：“我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的正方体祭坛太小,如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降雨.”大家觉得很好办,于是很快做好了一个新祭坛送到神那里,新祭坛的棱长是原来的2倍.可是神愈发恼怒,他说：“你们竟敢愚弄我.这个祭坛的体积不是原来的2倍,我要进一步