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最新高考数学复习资料学案25平面向量及其线性运算导学目标: 1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义自主梳理1向量的有关概念(1)向量的定义:既有_又有_的量叫做向量(2)表示方法:用 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a,b,或用,表示(3)模:向量的_叫向量的模,记作_或_(4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作0;零向量的方向是_(5)单位向量:长度为_单位长度的向量叫做单位向量与a平行的单位向量e_.(6)平行向量:方向_或_的_向量;平行向量又叫_,任一组平行向量都可以移到同一直线上规定:0与任一向量_(7)相等向量:长度_且方向_的向量2向量的加法运算及其几何意义(1)已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的 ,记作 ,即 =+= ,这种求向量和的方法叫做向量加法的 .(2)以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OACB,则以O为起点的对角线就是a与b的和,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 . (3)加法运算律ab_ (交换律);(ab)c_(结合律)3向量的减法及其几何意义(1)相反向量与a_、_的向量,叫做a的相反向量,记作_(2)向量的减法定义aba_,即减去一个向量相当于加上这个向量的_如图,a,b,则 ,_.4向量数乘运算及其几何意义(1)定义:实数与向量a的积是一个向量,记作_,它的长度与方向规定如下:|a|_;当0时,a与a的方向_;当0时,a与a的方向_;当0时,a_.(2)运算律设,是两个实数,则(a)_.(结合律)()a_.(第一分配律)(ab)_.(第二分配律)(3)两个向量共线定理:向量b与a (a0)共线的充要条件是存在唯一一个实数,使ba.5重要结论()G为ABC的_;0P为ABC的_自我检测1.(20xx四川)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,16,|,|则|等于 ()A8B4C2D12下列四个命题:对于实数m和向量a,b,恒有m(ab)mamb;对于实数m和向量a,b (mR),若mamb,则ab;若mana (m,nR,a0),则mn;若ab,bc,则ac,其中正确命题的个数为 ()A1B2C3D43.在ABCD中,a,b,3,M为BC的中点,则等于 ()AabBabCabDab4.(20xx湖北)已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m,成立,则m等于 ()A2B3C4D55.(20xx安徽)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若,其中、R,则_.探究点一平面向量的有关概念辨析例1有向线段就是向量,向量就是有向线段;向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;向量与向量共线,则A、B、C、D四点共线;如果ab,bc,那么ac.以上命题中正确的个数为 ()A1B2C3D0变式迁移1下列命题中正确的有_(填写所有正确命题的序号)|a|b|ab;若ab,bc,则ac;|a|0a0;若A、B、C、D是不共线的四点,则四边形ABCD是平行四边形探究点二向量的线性运算例2(20xx开封模拟)已知任意平面四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点.求证:()变式迁移2(20xx深圳模拟)如图所示,若四边形ABCD是一个等腰梯形,ABDC,M、N分别是DC、AB的中点,已知a,b,c,试用a、b、c表示,.探究点三共线向量问题例3 如图所示,平行四边形ABCD中,b,a,M为AB中点,N为BD靠近B的三等分点,求证:M、N、C三点共线.变式迁移3设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2,3e12e2,8e12e2,求证:A、C、D三点共线;(2)如果e1e2,2e13e2,2e1ke2,且A、C、D三点共线,求k的值1.若点P为线段AB的中点,O为平面内的任意一点,则()如图所示2证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线3三点共线的性质定理:(1)若平面上三点A、B、C共线,则.(2)若平面上三点A、B、C共线,O为不同于A、B、C的任意一点,则,且1. (满分:75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1若O、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ()A.D. 2.设a,b为不共线向量, a2b,4ab,5a3b,则下列关系式中正确的是 ()A.B.2C.D.23(20xx杭州模拟)设a,b是任意的两个向量,R,给出下面四个结论:若a与b共线,则ba;若ba,则a与b共线;若ab,则a与b共线;当b0时,a与b共线的充要条件是有且只有一个实数1,使得a1b.其中正确的结论有 ()ABCD4.在ABC中,c,b,若点D满足2,则等于 ()A.bcB.cbC.bcD.bc5.(20xx广东中山高三六校联考)在ABC中,已知D是AB边上一点,2,则等于 ( )A.B. C D题号12345答案二、填空题(每小题4分,共12分)6.(20xx湖南)如下图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若xy,则x_,y_.7.已知a,b,则_.8. (20xx青岛模拟)O是平面上一点,A,B,C是平面上不共线三点,动点P满足(),时,则()的值为_三、解答题(共38分)9(12分)若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同,则当t为何值时,a,tb,(ab)三向量的终点在同一条直线上?10.(12分)在ABC中,BE与CD交于点P,且a,b,用a,b表示.11(14分)(20xx黄山模拟)已知点G是ABO的重心,M是AB边的中点(1)求;(2)若PQ过ABO的重心G,且,a,b,ma,nb,求证:3.答案 自主梳理1.(1)大小 方向 (2)有向线段 (3)长度 |a|(4)任意的(5)1个(6)相同相反非零共线向量平行(7)相等相同2.(1)和abab三角形法则(2)平行四边形法则(3)baa(bc)3.(1)长度相等方向相反a(2)(b)相反向量abab4.(1)a|a|相同相反0(2)()aaaab5.(1)重心(2)重心自我检测1.2C根据实数与向量积的运算可判断其正确;当m0时,mamb0,但a与b不一定相等,故错误;正确;由于向量相等具有传递性,故正确3.A 由3得433(ab),又ab,所以(ab)ab.4B由题目条件可知,M为ABC的重心,连接AM并延长交BC于D,则,因为AD为中线,2m,即2m,联立可得m3.5.解析 设a,b,那么ab,ab,又ab,(),即,.课堂活动区例1D不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段;不正确,若a与b中有一个为零向量时也互相平行,但零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;不正确,如果b0时,则a与c不一定平行所以应选D.变式迁移1解析模相同,方向不一定相同,故不正确;两向量相等,要满足模相等且方向相同,故向量相等具备传递性,正确;只有零向量的模才为0,故正确;,即模相等且方向相同,即平行四边形对边平行且相等故正确故应选.例2证明方法一如图所示,在四边形CDEF中,0.在四边形ABFE中,0.得()()()()0.E、F分别是AD、BC的中点,0,0.2,即()方法二取以A
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