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配方法直接开平方法解方程 教学内容 运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程 教学目标 理解一元二次方程“降次”转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题 提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程 重难点关键 1重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程;领会降次转化的数学思想 2难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n0)的方程 教学过程 一、复习引入 学生活动:请同学们完成下列各题 问题1填空 (1)x2-8x+_=(x-_)2;(2)9x2+12x+_=(3x+_)2;(3)x2+px+_=(x+_)2问题2如图,在ABC中,B=90,点P从点B开始,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发,几秒后PBQ的面积等于8cm2? 老师点评: 问题1:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)()2 问题2:设x秒后PBQ的面积等于8cm2 则PB=x,BQ=2x 依题意,得:x2x=8 x2=8 根据平方根的意义,得x=2 即x1=2,x2=-2 可以验证,2和-2都是方程x2x=8的两根,但是移动时间不能是负值 所以2秒后PBQ的面积等于8cm2 二、探索新知 上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=2,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢? (学生分组讨论) 老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=2 即2t+1=2,2t+1=-2 方程的两根为t1=-,t2=- 例1:解方程:x2+4x+4=1 分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1 解:由已知,得:(x+2)2=1 直接开平方,得:x+2=1 即x+2=1,x+2=-1 所以,方程的两根x1=-1,x2=-3 例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率 分析:设每年人均住房面积增长率为x一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2 解:设每年人均住房面积增长率为x, 则:10(1+x)2=14.4 (1+x)2=1.44 直接开平方,得1+x=1.2 即1+x=1.2,1+x=-1.2 所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去 所以,每年人均住房面积增长率应为20% (学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么? 共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想” 三、巩固练习 教材 练习 四、应用拓展 例3某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少? 分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x)2 解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x 那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31 把(1+x)当成一个数,配方得: (1+x+)2=2.56,即(x+)2=256 x+=1.6,即x+=1.6,x+=-1.6 方程的根为x1=10%,x2=-3.1 因为增长率为正数, 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10% 五、归纳小结 本节课应掌握: 由应用直接开平方法解形如x2=p(p0),那么x=转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p0),那么mx+n=,达到降次转化之目的 六、布置作业一、选择题 1若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是( ) Ap=4,q=2 Bp=4,q=-2 Cp=-4,q=2 Dp=-4,q=-2 2方程3x2+9=0的根为( ) A3 B-3 C3 D无实数根 3用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是( ) A(x-)2=,x= B(x-)2=-,原方程无解 C(x-)2=,x1=+,x2= D(x-)2=1,x1=,x2=- 二、填空题 1若8x2-16=0,则x的值是_ 2如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是_ 3如果a、b为实数,满足+b2-12b+36=0,那么ab的值是_ 三、综合提高题 1解关于x的方程(x+m)2=n 2某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m (1)鸡场的面积能达到180m2吗?能达到200m吗? (2)鸡场的面积能达到210m2吗? 3在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,并说明你制作的理由吗?答案:一、1B 2D 3B二、1 29或-3 3-8三、1当n0时,x+m=,x1=-m,x2=-m当n0时,无解2(1)都能达到设宽为x,则长为40-2x,依题意,得:x(40-2x)=180整理,得:x2-20x+90=0,x1=10+,x2=10-;同理x(40-2x)=200,x1=x2=10,长为40-20=20 (2)不能达到同理x(40-2x)=210,x2-20x+105=0,b2-4ac=400-410=-100,无解,即不能达到3因要制矩形方框,面积尽可能大,所以,应是正方形,即每边长为1米的正方形1学习是一件快乐的事情,大家下载后可以自行修改
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