1 17.2 两直线的位置关系知识梳理1.平行与垂直若直线l1和l2有斜截式方程l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则（1）直线l1l2的充要条件是k1=k2且b1b2.（2）直线l1l2的充要条件是k1k2=1.若l1和l2都没有斜率，则l1与l2平行或重合.若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l1l2.2.相交（1）两条直线l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2相交得到两类角：“到角”和“夹角”.到角：直线l1到l2的角是指l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角.设l1到l2的角为1，l2到l1的角为2，则有1（0，），2（0，），且1+2=.当k1k21时，有公式tan1=.当k1k2=1时，l1l2，1=2=.夹角：l1到l2的角1和l2到l1的角2中不大于90的角叫l1和l2的夹角.设为，则有（0，当时，有公式tan=|.如果直线l1和l2中有一条斜率不存在，“到角”和“夹角”都可借助于图形，通过直线的倾斜角求出.的解一一对应.（2）交点：直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0 相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解.重合方程组有无数解.3.点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=.两平行线l1：Ax+By+C1=0和l2：Ax+By+C2=0之间的距离d=.点击双基1.点（0，5）到直线y=2x的距离为A. B. C. D.解析：a=.答案：B2.三直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2xy=10相交于一点，则a的值是A.2 B.1 C.0 D.1解析：解方程组4x+3y=10，2xy=10， 得交点坐标为（4，2），代入ax+2y+8=0，得a=1.答案：B3.直线x+y1=0到直线xsin+ycos1=0（)的角是A. B. C. D. 解析：由tan=tan（）=tan（），0，=.答案：D4.已知点P是直线l上的一点，将直线l绕点P逆时针方向旋转角（090），所得直线方程是xy2=0，若将它继续旋转90角，所得直线方程是2x+y1=0，则直线l的方程是_.解析：直线l经过直线xy2=0和2x+y1=0的交点（1，1），且又与直线2x+ y1=0垂直，l的方程为y+1=（x1），即x2y3=0.答案：x2y3=05.若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a1）y+（a21）=0平行且不重合，则a的值是_.解析：利用两直线平行的条件.答案：1典例剖析【例1】 等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x2y2=0，底边所在直线l2的方程是x+y1=0，点（2，0）在另一腰上，求该腰所在直线l3的方程.剖析：依到角公式求出l3的斜率，再用点斜式可求l3的方程.解：设l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，l1到l2的角是1，l2到l3的角是2，则k1=，k2=1，tan1=3.l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，1=2，tan1=tan2=3，即=3，=3，解得k3=2.又直线l3经过点（2，0），直线l3的方程为y=2（x+2），即2xy+4=0.评述：本题根据条件作出合理的假设1=2，而后利用直线到直线所成角的公式，最后利用点斜式，求出l3的方程.思考讨论 用夹角公式会产生什么问题，怎样去掉增解?【例2】 已知两直线l1：xm2y60，l2：（m2）x3my2m0，当m为何值时，l1与l2（1）相交；（2）平行；（3）重合?剖析：依据两直线位置关系判断方法便可解决.解：当m=0时，l1：x60，l2：x0，l1l2.当m=2时，l1：x4y60，l2：3y20，l1与l2相交.当m0且m2时，由得m=1或m=3，由得m3.故（1）当m1，m3且m0时，l1与l2相交；（2）当m1或m0时，l1l2；（3）当m3时，l1与l2重合.评述：对这类问题要从有斜率、没斜率两方面进行考虑.深化拓展 不讨论有斜率、没斜率能直接求解吗?【例3】 已知点P（2，1），求：（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少?（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.剖析：已知直线过定点求方程，首先想到的是求斜率或设方程的斜截式，但不要忘记考察斜率不存在的直线是否满足题意.若满足，可先把它求出，然后再考虑斜率存在的一般情况.图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决.解：（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），可见，过P（2，1）垂直于x轴的直线满足条件.此时l的斜率不存在，其方程为x=2.若斜率存在，设l的方程为y+1=k（x2），即kxy2k1=0.由已知，得=2，解之得k=.此时l的方程为3x4y10=0.综上，可得直线l的方程为x=2或3x4y10=0.（2）作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由lOP，得klkOP =1，所以kl =2.由直线方程的点斜式得y+1=2（x2），即2xy5=0，即直线2xy5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为=.（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.评述：第（3）问是判断存在性问题，通常的解决方法是先假设判断对象存在，令其满足应符合的条件，若有解，则存在，并求得；若无解，则不存在，判断无解的过程就是结论的理由.如（3）解法二：由于斜率不存在且过P点的直线到原点距离不是6，因此，设过P点到原点距离为6的直线的斜率存在且方程为y+1=k（x2），即kxy2k1=0.原点O到它的距离d=6，即32k24k+35=0.因=16432350，故方程无解.所以不存在这样的直线.闯关训练夯实基础1.（2004年全国卷，3）过点（1，3）且垂直于直线x2y+3=0的直线方程为A.2x+y1=0 B.2x+y5=0C.x+2y5=0 D.x2y+7=0解析：由已知直线的斜率为，知所求直线的斜率为2.由点斜式得所求直线方程为2x+y1=0.答案：A2.若直线y=|x|与y=kx+1有两个交点，则k的取值范围是_.解析：y=|x|是第一、二象限角的平分线，直线y=kx+1是过定点（0，1）的直线系方程.由图象易知1k1.答案：1k13.ABC中，a、b、c是内角A、B、C的对边，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则下列两条直线l1：（sin2A）x+（sinA）ya=0，l2：（sin2B）x+（sinC）yc=0的位置关系是_.解析：由已知2lgsinB=lgsinA+lgsinC，得lg（sinB）2=lg（sinAsinC）.sin2B=sinAsinC.设l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0=，=，=，=，l1与l2重合答案：重合4.求过点P（5，2），且与直线xy+5=0相交成45角的直线l的方程.解：（1）若直线l的斜率存在，设为k，由题意，tan45=|，得k=0，所求l的直线方程为y=2.（2）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=5，且与直线xy+5=0相交成45角.综合（1）（2），直线l的方程为x=5或y=2.5.已知ABC的两条高线所在直线的方程为2x3y+1=0和x+y=0，顶点A（1，2），求：（1）BC边所在直线的方程；（2）ABC的面积.解：（1）A点不在两条高线上，从而AB、AC边所在直线方程为3x+2y7=0，xy+1=0.C（2，1）、B（7，7）.边BC所在直线方程是2x+3y+7=0.（2）BC，点A到边BC的高为h，从而ABC的面积是3培养能力6.光线从A（3，4）点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D（1，6），求BC所在直线的方程.解法一：如下图所示，依题意，B点在原点O左侧，设坐标为（a，0），由入射角等于反射角得1=2，3=4，kAB=kBC.又kAB=（a3），kBC=.BC的方程为y0=（xa），即4x（3+a）y4a=0.令x=0，解得C点坐标为（0，），则kDC=.3=4，=.=.解得a=，代入BC方程得5x2y+7=0.解法二：点A关于x轴的对称点为A（3，4），点D关于y轴的对称点为D（1，6），由入射角等于反射角及对顶角相等可知A、D都在直线BC上，BC的方程为5x2y+7=0.7.在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（原点除外）上给定两点A（0，a）、B（0，b）（ab0）.试在x轴的正半轴（原点除外）上求点C，使ACB取得最大值，并求出这个最大值.解：由题意作下图，设C（x，0），其中x0又A（0，a），B（0，b）（ab0），则kAC，kBC.tanACB =此时x时取等号.故所求点C（，0），最大值为arctan8.（理）已知过点A