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3-5 反三角函數的基本概念(甲)反函數的概念 x 2x f g(1)反函數的定義:函數f(x)、g(y),設x,y分別是f(x)、g(y)定義域內任意元素,如果g(f(x)=x且f(g(y)=y則稱f(x)與g(y)互為反函數,f(x)的反函數記為f-1(x),即g(x)=f-1(x)。此時f(x)、g(x)的定義域與值域互換,即f(x)的定義域為f-1(x)的值域,f(x)的值域為f-1(x)的定義域。例一:設f(x)=2x,定義域=R,值域=y | y0,我們來討論f(x)的反函數g(y),因為24,0.520.5,x所以42,20.5,2xx由對數的定義可知g(y)=log2y,定義域=y | y0,值域=R例二:設f(x)=x2,定義域=R,值域= y | y0,觀察它的對應情形11,-11,24,-24,39,xx2,當我們求它的反函數時,會遭遇到一個問題,到底x2要對應回去x或是-x呢? 因為f(x)=x2是一個2對1的函數,因此反函數定義時會遭遇到1對2無法形成函數,這個情形與(1)的情形不同,f(x)=2x是一個1對1的函數,故直接對應回來就能定義反函數;而f(x)=x2是一個2對1的函數,我們要定義反函數時,就要採取彈性的方法,所謂彈性的方法就是限制原函數的定義域,使得原函數在限制下的定義域是一個1對1的函數。當定義域限制成x|x0時,可定義反函數f -1(y)=,當定義域限制成x|x0時,可定義反函數f -1(y)= -。例三:處理三角函數的情形,與處理f(x)=x2的情形類似,考慮f(x)=sinx,因為+2kp它是一個多對1的函數,所以要處理正弦函數的反函數問題時,要將定義域做適當的限制,其它的5個三角函數也是用同樣的方法來處理。(乙)反正弦函數(1)反正弦sin-1a的定義:對於每一個實數a-1,1,在區間,內,都恰有一個實數x,使得sinx=a。這個唯一的實數x,就記為sin-1a(有時也記為arcsina),讀做arcsinea。例如:因為在,內只有使得sin = ,所以sin-1=。 因為在,內只有使得sin = ,所以sin-1()= 。注意:(a)sin = ,為什麼sin-1呢?(b)sin-1有意義嗎?為什麼?a01-1sin-1a結論:sin-1a=q a-1,1,q , 且sinq =x(2)反正弦函數:由y=sinx 的圖形可知定義域限制在,內時,y=sinx為一個1-1函數。(a)定義反正弦函數:根據sin-1x的定義,可知我們限制y=sinx的定義域到,,此時y=sinx為1對1的函數,因此可以定義反正弦函數 y=f(x)=sin-1x,可知定義域=x|-1x1,值域=y|y。(b)反正弦函數的圖形:對於a,,點(a,b)在y=sinx,的圖形上 點(b,a)在y=sin-1x的圖形上。所以y=sinx,x,與y=sin-1x的圖形對稱於直線y=x。(3)反正弦函數的性質:性質1:y=sin-1x圖形對稱原點,為奇函數。 sin-1(-x)=-sin-1(x),-1x1 性質2:若-1x1,則sin(sin-1x)=x。性質3:若x,則sin-1(sinx)=x。性質4:若x R,則sin-1(sinx)x,例sin-1(sin)=sin-1()=。例題1 求下列各式的值:(1) sin-1(sin) (2) sin-1sin (3) sin-1 sin1 (4) sin-1 sin2Ans:(1) (2) - (3)1 (4)p-2例題2 求下列各式的值:(1)sin sin-1 (2)sin sin-1()(3)sin sin-11 (4)sin sin-12Ans:(1) (2) (3)1 (4)無意義(練習1) 求下列各小題的值:(1)sin-11=? (2)sin-1 利用三角函數值表 (3)sin-1 =? (4)sin-1(cos)=?(5)sin(sin-1)=? (6) sin-1(sin10) (7) sin-1sinAns:(1) (2)約0.41弧度 (3)無意義 (4) (5) (6) 3p-10 (7) (練習2) 在ABC中,若=2,=6,B=135,求A。Ans:A=sin-1(丙)反餘弦函數(1)反餘弦cos-1a的定義:對於每一個a,-1a1,在區間x|0xp上都恰有一個實數x使得cosx=a這個唯一的實數x,就記為cos-1a(有時也記做arccosa),讀做arc cosinea。例如:因為0p,cos=,所以cos-1=。 因為0p,cos = ,所以cos-1()= 。注意:(1)cos=,為何cos-1呢?(2)cos-1是否有意義?a01-1cos-1asin-1asin-1a+cos-1a結論:cos-1a=q a-1,1,q 0,p 且cosq =x(2)反餘弦函數: 由y=cosx 的圖形可知定義域限制在0,p內時,y=cosx為一個1-1函數。(a)定義反餘弦函數: 根據cos-1x的定義,可知我們限制y=cosx的定義域到0,p,此時y=cosx為1 對1的函數,因此可以定義反餘弦函數 y=f(x)=cos-1x, 可知定義域=x|-1x1,值域=y|0yp。(b)反餘弦函數的圖形: 對於a0,p,點(a,b)在y=cosx的圖形上 點(b,a)在y=cos-1x 的圖形上。 所以y=cosx,x0,p與y=cos-1x的圖形對稱於直線y=x。(3)反餘弦函數的性質:性質1:y=cos-1x圖形無對稱原點,不為奇函數。 cos-1(-x) -cos-1x 性質2:若-1x1,則cos (cos-1x)=x。性質3:若0xp,則cos-1(cosx)=x。 性質4:若x R,則cos-1(cosx)x 例:cos-1(cos)=cos-1()=性質5:sin-1x+cos-1x=性質6:若-1a1,則cos-1(-a)=p-cos-1a 例:cos(-)=p-=p-cos-1例題3 求下列各式的值:(1)cos-1 cos (2)cos-1(cos) (3)cos-1cos4 Ans:(1) (2) (3)2p-4例題4 (1)cos(cos-1(-1) (2) cos(cos-1() (3)coscos-1(-)Ans:(1)-1 (2)無意義 (3)(練習3) 求下列各小題的值:(1)cos-1 (2)cos-1p (3)cos-1(cos1000p) Ans:(1) (2)無意義 (3)0(練習4) 求下列各小題的值:(1)cos-1(cos2p) (2)cos-1() (3)cos-1(cos) Ans:(1)0 (2)無意義 (3)(練習5) 求下列各小題的值:(1)cos-1(cos1) (2)cos-1(cos2)(3)cos-1(cos3)(4)cos-1(cos4)(5)cos-1(cos5)(6)cos-1(cos6)Ans:(1)1(2)2(3)3 (4)2p-4(5)2p-5(6)2p-6(練習6) 設0x2p,且cosx=,請問x=?Ans:x=cos-1或2p- cos-1(丁)反正切函數(1)反正切tan-1a的意義:對於每一個實數a,在區間(,)內,都恰有一個實數x,使得tanx=a。這個唯一的實數x,就記為tan-1a(有時也記為arctana),讀做arctangenta。例如:因為在(,)內只有使得tan =1,所以tan-11=。 因為在(,)內只有使得tan =-,所以tan-1(-)= 。注意:tan =,為什麼tan-1()呢?結論:tan-1a=q aR,q (, ) 且tanq =x。(2)反正切函數: 由y=tanx的圖形可知限制定義域在(,)時,y=tanx是1-1的函數。(a)定義反正切函數根據tan-1x的定義,可知我們限制y=tanx的定義域到(,),此時y=tanx為1對1的函數,因此可以定義反正切函數 y=f(x)=tan-1x,可知定義域=R,值域=y|y。(b)反正切函數的圖形: 對於b(,),點(a,b)在y=tanx,的圖形上 點(b,a)在y=tan-1x的圖形上。 所以y=tanx,x(,)與y=tan-1x的圖形對稱於直線y=x。(3)反正切函數的性質:性質1:y=tan-1x圖形對稱原點,為奇函數。tan-1(-x)= -tan-1x 性質2:若x R,則tan tan-1x=x性質3:若-x,則tan-1tanx=x性質4:若x R,則tan-1tanxx例如:tan-1(tan)=tan-1(-1)= 例題5 求下列各小題的值:(1)tan-1(-1) (2)tan-1(tan) (3)tan-1(tan) (4)tan(tan-1(100)Ans:(1) (2) (3)無意義 (4)100(練習7) 求下列各小題的值:(1)tan-1() (2)tan-1(tan200p) (3)tan-1(tan) (4)tan(tan-1123)Ans:(1) (2)0 (3) (4)123例題6 求下列各小題的值:(1)sinsin-1+cos-1() (2)costan-1Ans:(1) (2)(練習8) 試求costan-1()+sin-1=? Ans:(練習9) 試求sincos-1()=? Ans:綜合練習(1) 求下列各式的值:(a)sin(sin-1)(b)sin-1(sin2)(c)cos(cos-1)(d)cos-1(cos3p)(e)tan(tan-12p) (f)tan-1(tan2p)(2) 下列有關反函數的敘述那些是正確的?(A)sin-1sin= (B)tan-1tan4=4 (C)coscos-1p=p (D)sin(cos-1)=(E)cos-1(cos)=。 (3) 有關f (x)sin1x,11的敘述,何者正確?(A) f (x)為一對一函數(B) f (x)的反函數為正弦函數(C) f (x)為遞增函數(D) f (x)之定義域為(E) f (
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