2012中考一轮复习材料 作者：辽宁省本溪市36中学 吕丽俊第26课 点与圆、直线与圆的位置关系第一部分 讲解部分（一） 课标要求1、点与圆的位置关系、能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系.、知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图.2、直线与圆的位置关系、能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系.、了解切线的概念.、能运用切线的性质进行简单计算和说理.、掌握切线的判别方法.、了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念.、能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算.（二） 知识要点知识点1：点与圆的位置关系点和圆的位置关系：如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d.那么点在圆外点在圆上 点在圆内知识点2：过三点的圆：（1）过三点的圆：经过在同一直线上的三点不能作圆，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆。（2）三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形，三角形外心到三角形三个顶点距离相等。（3）三角形的外接圆的做法：确定圆心：作任意两边的中垂线，交点即为圆心。确定半径：两边中垂线的交点到三角形任意一顶点间的距离作为半径。知识点3：直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系概念：直线与圆有两个公共点时，叫直线与圆相交，直线叫圆的割线。直线与圆有唯一公共点时，叫直线与圆相切，唯一公共点叫切点，直线叫圆的切线直线与圆没有公共点时，叫直线与圆相离。直线与圆的位置关系性质与判定如果圆的半径为r,圆心到直线的距离为d.那么直线与圆相离 直线与圆相切直线与圆相交知识点4：切线的性质和判定切线的性质：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。切线的判定：和圆只有唯一公共点的直线是圆的切线。到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。知识点5:三角形的内切圆三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。（三） 考点精讲知识点1：点与圆的位置关系（一般以选择题、填空题、解答形式出现）例1（2011上海）矩形ABCD中，AB=8， BC=3边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A、点B、C均在圆P外B、点B在圆P外、点C在圆P内C、点B在圆P内、点C在圆P外D、点B、C均在圆P内思路分析：根据BP=3AP和AB的长度求得AP的长，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD的长，根据点B、C到P点的距离判断点P与圆的位置关系即可解答：解：AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP，AP=2，r=PD= =7，PC= = =9，PB=6r，PC=9r点B在圆P内、点C在圆P外故选C点评：本题考查点与圆的位置关系，属于基础题例2（2011湖北武汉）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，QON=30，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（）A12秒B16秒 C20秒D24秒思路分析：过点A作ACON，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失解答：解：如图：过点A作ACON，QON=30，OA=240米，AC=120米，当火车到B点时对学校产生噪音影响，此时AB=200米，由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BC=320米，72千米/小时=20米/秒，影响时间应是：32020=16秒故选B点评：本题考查的是点与圆的位置关系，根据拖拉机行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对小学产生噪音的时间，属于中档题。知识点2：过三点的圆：（题型：作图题出现的较多）例3：（2011山东烟台）如图，ABC的外心坐标是_.OxyBCA思路分析：首先由ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为ABC的外心解答：解：ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，分别作线段AB,BC的垂直平分线MN,EF。EF与MN的交点O即为所求的ABC的外心，ABC的外心坐标是（2，1）故答案为：（2，1）点评：此题考查了三角形外心的知识注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点解此题的关键是数形结合思想的应用知识点3：直线与圆的位置关系（一般以选择题、填空题形式出现）例4： 已知圆的直径为13 cm，圆心到直线的距离为6 cm，那么直线和这个圆的公共点有 个.思路分析 ： 直线与圆的位置关系包括：相离、相切、相交判定方法有两种：一是看它们的公共点的个数；二是比较圆心到直线的距离与圆的半径实际上这两种方法是等价的，由题意可知圆的半径为6.5 cm，而圆心到直线的距离为6 cm，6 cm6.5 cm，所以直线与圆相交，有2个公共点故填2知识点4：切线的性质和判定（题型：选择题、填空题、解答）例:5：（2011包头）已知AB是O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作O的切线，切点为C，APC的平分线交AC于点D，则CDP等于（）A、30B、60C、45D、50分析：连接OC，根据题意，可知OCPC，CPD+DPA+A+ACO=90，可推出DPA+A=45，即CDP=45解答：解：连接OC，OC=OA，PD平分APC，CPD=DPA，A=ACO，PC为O的切线，OCPC，CPD+DPA+A+ACO=90，DPA+A=45，即CDP=45故选CABCDPOE点评：本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证CPD+DPA+A+ACO=90，即可求出CDP=45例6：（2011山东淄博）已知：ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EFAC，垂足为F（1）求证：直线EF是O的切线；（2）当直线DF与O相切时，求O的半径思路分析：（1）连接OE欲证直线EF是O的切线，只需证明EFAC利用等边三角形的三个内角都是60、等腰三角形OBE以及三角形的内角和定理求得同位角BOE=A=60，从而判定OEAC，所以由已知条件EFAC判定OEEF，即直线EF是O的切线；（2）连接DF设O的半径是r由等边三角形的三个内角都是60、三条边都相等、以及在直角三角形中30所对的直角边是斜边的一半求得关于r的方程4r=2（4r4），解方程即可解答：解：（1）证明：连接OEABC是等边三角形，A=B=C=60；在BOE中，OB=OE，B=60，B=OEB=BOE=60（三角形内角和定理），BOE=A=60，OEAC（同位角相等，两直线平行）；EFAC，OEEF，即直线EF是O的切线；（2）连接DFDF与O相切，ADF=90设O的半径是r，则EB=r，EC=4r，AD=42r在RtADF中，A=60，AF=2AD=84rFC=4r4；在RtCEF中，C=60，EC=2FC，4r=2（4r4），解得，r=；O的半径是点评：本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可知识点5：三角形内切圆例7：（2011山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ）A2m B.3m C.6m D.9mO（第7题图）思路分析：根据：ABC的面积=AOB的面积+BOC的面积+AOC的面积即可求解解答：解：在直角ABC中，BC=8m，AC=6m则AB=10中心O到三条支路的距离相等，设距离是rABC的面积=AOB的面积+BOC的面积+AOC的面积即：ACBC=ABr+BCr+ACr 即：68=10r+8r+6r r=2故O到三条支路的管道总长是23=6m故选C点评：本题主要考查了三角形的内心的性质，三角形内心到三角形的各边的距离相等，利用三角形的面积的关系求解是解题的关键（四） 疑难点和易错点：本节是中考必考内容，出现的题型有选择题，填空题，计算题，解答题及作图题，切线的性质和判定是本节重点，也是难点，学生在选择切线的判定时容易找不准用哪一种方法，有关圆、切线的计算运用知识点较多，与等腰三角形，直角三角形联系密切，计算复杂容易出错。（五） 真题演练一、选择1. （2011贵州遵义）如图，AB是O的直径，BC交O于点D，DEAC于点E，要使DE是O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（ ）A. DEDO B. ABAC C. CDDB D. ACOD2. （2011湖北随州）如图，AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于D，且COCD，则PCA（）A、30B、45 C、60D、67.5二、填空题3. （2011江苏苏州）如图，巳知AB是O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与O相切，切点为D若CD= ，则线段BC的长度等于_4. （2011青海）如图所示，O的两条切线PA和PB相交于点P，与O相切于A、B两点，C是O上的一点，若P=70，则ACB=5.（2011广东汕头）如图，AB与O相切于点B，AO的延长线交O于点C，连接BC，若A=40，则C=25三、解答题6. （2011江苏淮安）如图，AD是O的弦，AB经过圆心O，交O于点C，DAB=B=30.(1)直线