ij第二章 应力理论和应变理论 23试求图示单元体斜截面上的30和30（应力单位为MPa）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。解：在右图示单元体上建立xoy坐标，则知 x = -10 y = -4 xy = -2 （以上应力符号均按材力的规定）代入材力有关公式得：代入弹性力学的有关公式得： 己知 x = -10 y = -4 xy = +2由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。26. 悬挂的等直杆在自重W作用下（如图所示）。材料比重为弹性模量为 E，横截面面积为A。试求离固定端z处一点C的应变z与杆的总伸长量l。解：据题意选点如图所示坐标系xoz，在距下端（原点）为z处的c点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c截面的内力：Nz=Az ；c截面上的应力：； 所以离下端为z处的任意一点c的线应变z为：；则距下端（原点）为z的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：；（W=Al）29.己知物体内一点的应力张量为：ij =应力单位为kgcm2 。试确定外法线为ni，（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力、正应力n及剪应力n 。解：首先求出该斜截面上全应力在x、y、z三个方向的三个分量：n=nx=ny=nzPx=n=Py=n=Pz=n=所以知，该斜截面上的全应力及正应力n、剪应力n均为零，也即：Pn =n = n = 0215.如图所示三角形截面水坝材料的比重为，水的比重为1。己求得应力解为：x=ax+by，y=cx+dy-y ， xy=-dx-ay；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a、b、c、d。解：首先列出OA、OB两边的应力边界条件：OA边：l1=-1 ；l2=0 ；Tx= 1y ； Ty=0 则x=-1y ； xy=0代入：x=ax+by；xy=-dx-ay 并注意此时：x=0得：b=-1；a=0；OB边：l1=cos；l2=-sin，Tx=Ty=0则：（a）将己知条件：x= -1y ；xy=-dx ； y=cx+dy-y代入（a）式得：化简（b）式得：d =1ctg2；化简（c）式得：c =ctg-21 ctg3217.己知一点处的应力张量为试求该点的最大主应力及其主方向。解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：x=12103 y=10103 xy=6103，且该点的主应力可由下式求得：则显然：1 与x轴正向的夹角为：（按材力公式计算）显然2为第象限角：2=arctg（+6）=+80.5376则：=+40.26884016 或（-13944）219.己知应力分量为：x=y=z=xy=0，zy=a，zx=b，试计算出主应力1、2、3并求出2的主方向。解：由211题计算结果知该题的三个主应力分别为：；设2与三个坐标轴x、y、z的方向余弦为：l21、l22、l23，于是将方向余弦和2值代入下式即可求出2的主方向来。以及：由（1）（2）得：l23=0 由（3）得：；将以上结果代入（4）式分别得：；同理于是主应力2的一组方向余弦为：（，0）；3的一组方向余弦为（，）；220.证明下列等式：（1）：J2=I2+； （3）：；证明（1）：等式的右端为： 故左端=右端证明（3）：右端=228：设一物体的各点发生如下的位移。式中a0、a1c1、c2均为常数，试证各点的应变分量为常数。证明：将己知位移分量函数式分别代入几何方程得： ； ；229：设己知下列位移，试求指定点的应变状态。（1）： 在（0，2）点处；（2）： 在（1，3，4）点处解（1）： 在（0，2）点处，该点的应变分量为: ；写成张量形式则为：；解（2）：将己知位移分量函数式代入几何方程求出应变分量函数式，然后将己知点坐标（1，3，4）代入应变分量函数式。求出设点的应变状态。； ； ；用张量形式表示则为：232：试说明下列应变状态是否可能（式中a、b、c均为常数）(1):(2): (3): 解（1）：由应变张量ij知：xz=yz=zx=zy=z=0 而x、y、xy及yx又都是x、y坐标的函数，所以这是一个平面应变问题。将x、y、xy代入二维情况下，应变分量所应满足的变形协调条件知： 也即：2c+0=2c 知满足。所以说，该应变状态是可能的。解（2）：将己知各应变分量代入空间问题所应满足的变形协调方程得：（1）得： 不满足，因此该应变状态是不可能的。解（3）：将己知应变分量代入上（1）式得： 不满足，因此该点的应变状态是不可能的。第三章：弹性变形及其本构方程3-5试依据物体三向受拉，体积不会缩小的体积应变规律，来证明泊松比V的上下限为0V；证明：当材料处于各向等值的均匀拉伸应力状态下时，其应力分量为：11=22=33=p 12=23=31=0如果我们定义材料的体积弹性模量为k，则显然：k=，e为体积应变。将上述应力分量的值代入广义胡克定律： 得：三式相加得：将p=ke代入上式得：（1）由弹性应变能u0的正定性（也就是说在任何非零的应力值作用下，材料变形时，其弹性应变能总是正的。）知k0，E0，G0。因：我们知道体积变形e与形状变化部分，这两部分可看成是相互独立的，因此由uo的正定性可推知：k0，G0。而又知： 所以：E0。我们将（1）式变化为：（2）由（2）式及k0， G0 ，E0知：1+V0，1-2V0。解得：-1V。但是由于到目前为止，还没有发现有V0的材料，而只发现有V值接近于其极限值的材料（例如：橡胶、石腊）和V值几乎等于零的材料（例如：软木）。因此，一般认为泊松比V的上、下限值为和0，所以得：0V 或：0V；3-10直径为D=40mm的铝圆柱体，紧密地放入厚度为2mm的钢套中，圆柱受轴向压力P=40KN。若铝的弹性常数据E1=70G.V1=0.35,钢的弹性常数E=210G。试求筒内的周向应力。解：设铝块受压而 则周向应变 q=2.8MN/m2钢套 ； ； ； ；4-14.试证明在弹性范围内剪应力不产生体积应变，并由纯剪状态说明v=0。证明：在外力作用下，物体将产生变形，也即将产生体积的改变和形状的改变。前者称为体变，后者称为形变。并且可将一点的应力张量ij和应变张量ij分解为，球应力张量、球应变张量和偏应力张量、偏应变张量。而球应变张量只产生体变，偏应变张量只引起形变。通过推导，我们在小变形的前提下，对于各向同性的线弹体建立了用球应力、球应变分量和偏应力分量，偏应变分量表示的广义胡克定律：(1) 式中：e为体积应变 由（1）式可知，物体的体积应变是由平均正力m确定，由eij中的三个正应力之和为令，以及（2）式知，应变偏量只引起形变，而与体变无关。这说明物体产生体变时，只能是平均正应力m作用的结果，而与偏应力张量无关进一步说就是与剪应力无关。物体的体积变形只能是并且完全是由球应力张量引起的。由单位体积的应变比能公式：；也可说明物体的体变只能是由球应力分量引起的。当某一单元体处于纯剪切应力状态时：其弹性应变比能为：由uo的正定性知：E0，1+v0.得：v-1。由于到目前为止还没有v0。3-16给定单向拉伸曲线如图所示，s、E、E均为已知，当知道B点的应变为时，试求该点的塑性应变。解：由该材料的曲线图可知，该种材料为线性强化弹塑性材料。由于B点的应变已进入弹塑性阶段，故该点的应变应为：B=e+p故：p=-e；3-19已知藻壁圆筒承受拉应力及扭矩的作用，若使用Mises条件，试求屈服时扭转应力应为多大？并求出此时塑性应变增量的比值。解：由于是藻壁圆筒，所可认圆筒上各点的应力状态是均匀分布的。据题意圆筒内任意一点的应力状态为：（采用柱坐标表示），；，；于是据miess屈服条件知，当该藻壁圆筒在轴向拉力（固定不变）及扭矩M（遂渐增大，直到材料产生屈服）的作用下，产生屈服时，有：解出得：；就是当圆筒屈服时其横截面上的扭转应力。任意一点的球应力分量m为：应力偏量为：；由增量理论知：于是得：；所以此时的塑性应变增量的比值为：0：0：也即：（-1）：（-1）：2：0：0：6；3-20一藻壁圆筒平均半径为r，壁厚为t，承受内压力p作用，且材料是不可压缩的，；讨论下列三种情况：（1）：管的两端是自由的；（2）：管的两端是固定的；（3）：管的两端是封闭的；分别用mises和Tresca两种屈服条件讨论p多大时，管子开始屈服，如已知单向拉伸试验r值。解：由于是藻壁圆筒，若采用柱坐标时，r0，据题意首先分析三种情况下，圆筒内任意一点的应力状态：（1）：；（2）：；（3）：；显然知，若采用Tresca条件讨论时，（1）、（2）、（3）三种情况所得结果相同，也即：；解出得：；若采用mises屈服条件讨论时，则（2）（3）两种情况所得结论一样。于是得：（1）：解出得：；（2）、（3）：解出得：；3-22给出以下问题的最大剪应力条件与畸变能条件：（1）：受内压作用的封闭藻壁圆管。设内压q，平均半径为r，壁厚为t，材料为理想弹塑性。（2）：受拉力p和旁矩作用的杆。杆为矩形截面，面积bh，材料为理想弹塑性。解（1）：由于是藻壁圆管且1。所以可以认为管壁上任意一点的应力状态为平面应力状态，即r=0,且应力均匀分布。那么任意一点的三个主应力为：；若采用 Tresca屈服条件，则有：；故得：； 或：；若采用mises屈服条件，则有：；故得：； 或：；解（2）：该杆内任意一点的应力状态为单向应力状态，（受力如图示）且知，当杆件产生屈服时，首先在杆件顶面各点屈服，故知得：；若采用Tresca屈服条件，则有：；故得：； 或：；若采用mises屈服条件，则有：故得：；或：；一般以s为准（拉伸讨验）第五章 平面问题直角坐标解答 5-2：给出；（