高中数学学习资料华中师大一附中函数图象平移与伸缩的通解广东 柯厚宝 对于函数图象的平移与伸缩问题，传统的处理手法过于繁杂，记忆量大，难于掌握.本文试图用代换的手法将其作一般性的探讨. 一、函数图象的平移 事实上，设函数的图象，向右平移个单位，得到的图象的解析式是,令点是的图象上任一点，点向右平移个单位得点，则点在的图象上，且，有，于是，把函数的图象，向右平移个单位，得到的图象的解析式是（即以代换）. 我们定义：当时，表示向右平移；当时，表示向左平移. 例1 函数是偶函数，则函数的对称轴是 A， B， C， D， 分析：函数是偶函数，其对称轴为，以代换，有，令，解得，故函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，其对称轴也相应地向左平移了个单位，故选D. 例2 要得到函数的图象，只需要将函数的图象 A，向左平移个单位 B，向右平移个单位C，向左平移个单位 D，向右平移个单位解1：，而在中，以代换，有.令，解得.故选A. 解2：.在中，以代换，有，令，解得.故选A. 同样地，把函数的图象，向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的图象的解析式是（即以，分别代换，）. 同样，我们定义：当时，表示向上平移；当时，表示向下平移. 例3 函数的图象，经过怎样的平移变换得到函数的图象？ 解：在中，以，分别代换，有.即，经对比，有，解得.故把函数的图象，向左平移个单位，再向上平移3个单位，便得函数的图象. 二、函数图象的伸缩与平移 事实上，设把函数的图象的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象的解析式是, 令点是的图象上任一点，点的横坐标伸长到原来的倍，得点，则点在的图象上，且，有， 于是，设把函数的图象的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象的解析式是（即以代换）. 我们定义：当时，表示伸长；当时，表示缩短. 例4 函数的图象，经过怎样的平移和伸缩变换得到函数的图象？ 解1：（先平移后伸缩）在中，以，分别代换，有，再以代换，有，即.对比有，得.即把函数的图象向左平移个单位，再向上平移4个单位，后将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数的图象. 解2：（先伸缩后平移）在中，以代换，有，再以，分别代换，得，即于是，得，.即把函数的图象横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，后向上平移4个单位，可得函数的图象. 把函数的图象的横坐标与纵坐标分别伸长到原来的倍，得到的图象的解析式是（即分别以，代换）. 我们定义：当时，表示伸长；当时，表示缩短. 例5 已知函数，将的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象. （I）求的解析式及定义域；（II）求的最大值. 解：（I）依题意，在中，以（即）代换，得，即，再以代换，得.故得.下略. 例6 函数的图象，经过怎样的变换得到函数的图象？ 解1：（先伸缩后平移）在中，分别以，代换，有，再以代换，得，即，令，得.故把函数的图象，横坐标伸长到原来的5倍（纵坐标不变），再将纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），后向右平移个单位，即得函数的图象. 说明：本题也可“先平移后伸缩”行变换，这个留给读者完成.