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第23章一元二次方程(判别式、根与系数)一、知识点归纳:1.一元二次方程根的情况:(1)当0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当0时,方程无实数根.2、一元二次方程根与系数的关系韦达定理: 一元二次方程,如果有实数根(即),设两实数根为x1,x2,则, 引申1:对称式: 引申2:由可判断两根符号之间的关系: 若,则x1,x2同号; 若,则x1,x2异号,即一正一负 再由可判断两根大小的关系。 3、由x1,x2两根可构造的一元二次方程 以x1,x2为根的一个一元二次方程为二、【典型例题】 【例1】已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0,当m为何非负整数时:(1)方程只有一个实数根;(2)方程有两个相等的实数根;(3)方程有两个不等的实数根.【例2】 已知关于x的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实根,且满足2a-b=0.(1)求a、b的值;(2)已知k为一实数,求证:关于x的方程(-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.【例3】关于x的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.【例4】 已知:a、b、c是ABC的三边,若方程有两个等根,试判断ABC的形状.【例5】(1)若x1,x2是方程的两个根,求,; (2)若方程的两个根是x1,x2,求。 【例6】(江西2004中考题) 已知关于x的方程 (1)当m取什么值时,原方程没有实数根? (2)对m选取一个合适的非零整数,使原方程有两个实数根,并求这两个实数根的平方和。 【例7】(2004海淀中考) 已知,关于x的一元二次方程的两个实数根之差的平方为m,若对于任意一个非零的实数a,总成立,求实数c及m的值。 三、基础练习(一)选择题:1.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根,则m的取值范围是 ( ) A.m1 B. m1且m0 C.m1 D. m1且m02.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是 ( ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根3.下列一元二次方程中,有实数根的是( ) A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=04.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根,则下列结论正确的是 ( ) A.当k=1/2时,方程两根互为相反数 B.当k=0时,方程的根是x=-1 C.当k=1时,方程两根互为倒数 D.当k1/4时,方程有实数根5已知关于的方程有两个相等的实数根,则的值等于( ). AB. C. 或 D. 8或-86已知关于的方程有两个不相等的实数根,那么的最大整数值是( )(A) 2 (B) 1 (C)0 (D)17要使关于的方程有实数根,则应满足的条件是( ).AB. C. D. 8、下列方程中,两实数根之和等于2的方程是( ) A. B. C. D. 9. 如果一元二次方程的两个根为,那么与的值分别为( ) A. 3,2B. C. D. 10已知一元二次方程的两个根的和为,两个根的积是2,则这一元二次方程是 ( )A、 B、 C、 D、11. 如果是方程的两个根,那么的值等于( ) A. B. 3C. D. 12. 已知关于x的方程有两个相等的正实数根,则k的值是( ) A. B. C. 2或D. 13. 若方程两实数根的平方差为16,则m的值等于( ) A. 3B. 5C. 15D. 14. 如果是两个不相等的实数,且满足,那么等于( ) A. 2B. C. 1D. 15. 对于任意实数m,关于x的方程一定( ) A. 有两个正的实数根 B. 有两个负的实数根C. 有一个正实数根、一个负实数根 D. 没有实数根16已知a、b、c是ABC的三边长,方程的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实根B. 有两个相等的实根C. 无实根D. 根据ABC的形状确定(二)、填空题:1关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根,则k= .2关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1,m= 3一元二次方程,当m= 时,方程有两个相等的实根;当m 时,方程有两个不相等的实根;当m = 时,方程有一个根为04如果关于x的方程有两个实数根,则k得取值范围 5. 若方程的两根之比是2:3,则k=_。6. 若方程的两根为a、,则 _。7. 以数和为两根的一元二次方程是 。8、若方程的两根的倒数和是,则_。三、解答题1当a是什么实数时,关于x的一元二次方程。(1)有两个相等的实数根?(2)有两个不相等的实数根?(3)没有实数根?2已知关于x的方程和,它们都有实数根,试求实数k的取值范围3已知关于x的方程根的判别式之值为0,1为方程的根,求m、n的值。4. 设方程的两根为,求分别以下列两数为根的一元二次方程: (1);(2) 5、已知一元二次方程 (1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根? (2)设是方程的两个实数根,且满足,求m的值。 5、. 已知关于x的方程 (1)k取什么值时,方程有两个实数根? (2)如果方程的两个实数根满足,求k的值。 6、. 已知关于x的一元二次方程 (1)求证:对于任意非零实数a,该方程恒有两个异号的实数根;(2)设是方程的两个实数根,若,求a的值。7、已知关于x的方程,问:是否存在实数m,使方程的两个实数根的平方和等于56,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
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