学习必备欢迎下载平均不等式AG不等式：1中学里面我们称之为基本不等式：（1）ab 乞 a b（a,b_o）2（2）- - _o（a,b同号）b a（3）a2+b2_2ab（ a,b为实数）n2推广：设a=（a,an）, a0, iwk兰n，则An（a）=瓦ak称为q,，an的算术n k平均值，Gn（a）= Va1a2an称为ai,an的几何平均值Gn(a)-An(a)，即 n aia2an-an称为ag不等式，当且仅当ai=ai=an时等号成立.ag不等式是最重要的基本不等式，利用这个不等式，可将和的形式缩小为积的形式，或者将积的形式放大为和的形式，因而这可以叙述成两个等价的共轭命题：（1） 其和为S的n个正数之积，在这些数都相等的时候最大，最大值为（S/nn.（2） 其积为二的n个正数之和，在这些数都相等的时候最小，最小值为n二2.因此AG不等式有许多独特的应用价值，例如在几何学中求最大最小问题时，给定表面积 的所有长方体中，正方体具有最大的体积； 而给定体积的所有长方体中，正方体具有最小的表面积等3加权形式的AG不等式:nqk_ 0 二 qk = i，k =innG(a,q)An(a,q)式中 G(a,q)=(ak)Aqk , An(a,q)= qkak,k#k=!通过对数变换可以将这两种平均联系起来，记Ina=（lna|na）,则lnG（a,q）lnA（a,q）即正数ai,，a的加权几何平均 G（a,q的对数等于ai,，an的对数Ina,Inai的加权算术平均n同时，对于加权形式的 ag不等式的进一步推广是：设ajk0, qpO,且壬q1，则7m nn mZ (门 )Aqk)兰口(瓦ak)Aqk，当且仅当j 4 k 4k 4 j 4a”_aj2m= -m7 aji7 aj2j jajn，（j=1,m)、ajnj A时等号成立4关于AG不等式的证明:这里面介绍的是几个典型的、简洁的和新的精彩的证明方法，为了叙述方便，下面将n a i ：卜a 2亠亠a nn.ala2an记为Gn（aAn（a）,并设ai, ，為是不全相等的正n数（因为 a1=ai = =an时，等号成立），与n aia = = an一聖岂 等价的是：nnn若I丨ak =1，则7 ak亠n;k=1k =1n则丨丨akk3J*n1821年Cauchy用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明:第一步：假设 n=k时，n a1a2 an _竺岂成立，容易推出 n=2k的n时候该式也成立：a1a2k1= (2k2a1 a2 亠 亠 akak -1 ak ：；2 ; = = ： =a2k+k1/k1/k(a1ak) +(ak 1 a2k) -(a1-akaka2k)1/2k由此推出 n=2 时，n a1a2 an _空一a2岂 成立.第二步：设 n-2m, 则比存在r N，使得 n+r=2m.n rn rA，(n BA； an) (AnAJyAn. Ann+r)(有 r 个 A连乘)=GnA n An Ar 1/(n+r)即 An n+r - Gn n An r.从而 An _Gn另外一种思路是从 An .1 _Gn .1推出An _Gn成立，事实上丄一-a2anAn 1/(n+1)，即 An n+1 _ aianAn，从而A. n - a1 an= Gn n，即 An Gn .同时也可以用数学归纳法来证明下式的成立nn11 ak = 1，则ak _ nk Ak 4证明如下：n=1时，命题显然为真.假设n _1时，命题为真，当 n 1时，若所有的xk =1,则其和等于n 1，不然 不妨设X1：1,Xn11(对若干个Xi进行一个排列，把最小的重新定为X1，最大的定为Xn1)，我们记y =X1Xn 1，这时便有X2X3. Xny =1，由于归纳假设x2 x3x1y _ n 另外， X1 Xn 1y = X1 Xn 1 -X1Xn 1 = (1 -X1)1Xn 1 1 +得，Xixn1 1，1，因而对 n 1的情况也成立，证毕！(Ehlers,1954)AG不教材大多采用的是利用函数的凹凸性去证明，这里我们直接证明加权平均不等式, 等式只是其中的一种特殊情形。nn下证明：G(a,qAn(a,q)式中 G(a,q)=( (ak)qk , An(a,q)= qkak,呛0，7k nqk = 1，k 1证明：注意到如果ak中有等于0时，不等式自然成立，现在只需要考虑ak都是正数的情况因为指数函数 J x二exp(x)为严格的上凸函数，所以我们有：n广 nI nnn (ak)yk = exp 送 UInak 怯送 Mexpln(ak= 人kak，当且仅当 ak都相等 k =1(kA丿 k=1k4的时候成立。1这时候我们再令k , k =1,2,n时，该式子就是非负的几何平均数不大于nAn 1 他 _n an +1算术平均数(AG不等式)还可以利用 Young不等式：a1/p b 1/q 1 / p a W q b， 1/ p 1 / q = 1,1 ： p ：:，得到/J/nan -11f八记 G = (an +1 )1/n (An 41 J1-1/n)，A =1 1 An 书.nan +1in 丿贝yAn t = A A a 耳:AnA - GnG = -Gn 1 A (n 1) An 1 A (n 1)1/2n ， 即2An 1 亠 Gn 1.证毕！( Diananda)补充说明的是you ng不等式的证明：1 1Young不等式(p-q不等式)：设p, q 0,1，则当1 ： p ：:时，成立p q| ab 11 a |p T 1 b |q;当0 ： p ： 1的时候，不等式反向，当且仅当|b|=|a|p-1的时候 p耳等号成立.证明这个不等式的方法有许多，这里只给出四种证明的方法：i 代数方法：利用 Bernoulli 不等式：x . 0,0 ： 1.（x ：-1 x -1 .再取，x = bqq/a（Bernoulli不等式的证明很容易，只需要用数学归纳法即可证明，这里不再去证明） 微分法：固定x .0,求一元函数11:y x A p y Aq -xy 在0,：）上的极值，在pq1y0 = X。a j （式中）时取到最小值.即:yy0 = 0.q-1 积分法：设y二x是0, a上严格递增的连续函数，ab比较面积得abx dx亠.1 ； y dy, a, b _ 0 （这里的和函数互为反函数）然后我们取:x二xp-1即可证得！ 考虑二元函数f （x, y - x1/p y 1/q 在凸域 D 二 x, y : x, y - 0上的凸性.p qLagrange乘数法：求 f （x ）= 0X1xn在条件 X1 + Xn = a下的最大值，作辅助函数F（X ）=（X1 xn ）伽+ 入（X1 + +xn - a）.F对xk求偏导数F* =0，得出f x = -nkxk, k = 1,，n.即对k求和，得到nf x - - n jxi亠 亠xn - _ n，a.即由以上两个式子，我们可以得到aaa 1xk =.于是 f 在一,，一点取得最大值nnJa)-La，即叮X1刈+xn).in 丿 nn n再补充利用四个个不等式去证明的方法:利用不等式exo x 1 x，得出n |n|nakak1 = exp( 0) = expn ： | exp 1 _ 丨丨k 卅 Ank=lAnk=1Q ) i= i lAn丿(An丿利用不等式exp(x)xe x=e，即x elnx.于是ak _eln ak, k =1, ., n.n我们可以选择权系数 q -(q1,. ,qn),qk 一 0,且qk =1,使得k=1nGn(a,q) ： i 丨(ak)A qk = e.k=1于是从ak_elnak,k =1,，n.式子对k求和，得到nn二 qkak _e二 qkln a elnk=1k =1-.k =1、nak Aqk = e ： I丨 ak a qk，这就是加权平均不等式 丿k利用不等式In x乞x_1x .0,得至U l o聲空竺_1,对k求和得到AkAknAk 、log(a)乞 k 4 An Ak If n a 、 一厂G 3 Tg- _n = 0,即 log 口 = log | 二卜 n |= n log(二)兰 0.从而我们Ank_i An y(An 丿AnGnGn得到logY-乞0,即1.证毕!AnAn利用不等式 xn（x）A （n1）乞 n1, x . 0.取x =（邑）1/（n-1），则从不等式上方的不等式得到An n - a1Ana2. *an|n-1n -1对上式逐次使用不等式得到:An n-a1a22|n-2 3白 a2an=(Gn)n 证毕!(Akerberg,B. 1963)5.深度的推广m我们通过加权平均不等式来证明：设aik 0,k = 1, nj i _ 0,i 二 1, ,m,H 川=1.iTn mm n则有不等式iiaik ai r - aik a .ik =1 i =1i =1k =1证明：当上述右边等于 0时，显然左边也等于 0.我们考虑右边不为 0的情况,利用加权平均不等式,n mI 丨aik A .ikd i dmni =1/ / 、f nnnn mmzaikznaikA 7 iz zaik=zji ik=1n八人in儿inkT=1Z aikk =1 imZaik=1zaikk=1丿I