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第七章 习题解答1设(X,d)为一度量空间,令 问的闭包是否等于? 解 不一定。例如离散空间(X,d)。=,而=X。 因此当X多于两点时,的闭包不等于。2. 设 是区间上无限次可微函数的全体,定义 证明按成度量空间。证明 (1)若=0,则=0,即f=g(2) =d(f,g)+d(g,h)因此按成度量空间。3 设B是度量空间X中的闭集,证明必有一列开集包含B,而且。证明 令是开集:设,则存在,使。设则易验证,这就证明了是 开集 显然。若则对每一个n,有使,因此。因B是闭集,必有,所以。4. 设d(x,y)为空间X上的距离,证明是X上的距离。证明 (1)若则,必有x=y (2)因而在上是单增函数,于是=。5. 证明点列按习题2中距离收敛与的充要条件为的各阶导数在a,b上一致收敛于f的各阶导数。证明 若按习题2中距离收敛与,即 0 因此对每个r,0 ,这样0 ,即在 a,b 上一致收敛于。 反之,若的(t)各阶导数在a,b上一致收敛于f(t),则任意,存在,使;存在,使当时,max ,取N=max ,当nN时,即0 。6. 设,证明度量空间中的集f|当tB时f(t)=0为中的闭集,而集A=f|当tB时,|f(t)|a(a0)为开集的充要条件是B为闭集。证明 记E=f|当tB时f(t)=0。设,按中度量收敛于f,即在a,b上一致收敛于f(t)。设,则,所以f E,这就证明了E为闭集 充分性。当B是闭集时,设f A。因f在B上连续而B是有界闭集,必有,使。设 。我们证明必有。设,则若,必有,于是,所以,这样就证明了A是开集 必要性。设A是开集,要证明B是闭集,只要证明对任意若,必有。倘若,则定义。于是对任意,因此由于A是开集,必有,当Ca,b且时,。定义,n=1,2。则因此当时,。但是,此与的必要条件:对 任意,有矛盾 因此必有。7. 设E及F是度量空间中的两个集,如果,证明必有不相交开集O及G分别包含E及F。证明 设。令 则且,事实上,若,则有,所以存在E中的点x使,F中点y使,于是,此与矛盾。8. 设 Ba,b表示a,b上实有界函数全体,对Ba,b中任意两元素f,g Ba,b,规定距离为。证明Ba,b不是可分空间。证明 对任意a,b,定义则Ba,b,且若, 。 倘若Ba,b是不可分的,则有可数稠密子集,对任意a,b,必有某,即。由于a,b上的点的全体是不可数集。这样必有某,使,于是此与矛盾,因此Ba,b不是可分空间。9. 设X是可分距离空间,为X的一个开覆盖,即是一族开集,使得对每个,有中的开集O,使得,证明必可从中选出可数个集组成X的一个开覆盖。证明 若,必有,使,因是开集,必有某自然数n,使。设是X的可数稠密子集,于是在中必有某,且。事实上,若,则所以。这样我们就证明了对任意,存在k,n使且存在 任取覆盖的O,记为是X的可数覆盖。10. X为距离空间,A为X中子集,令证明是X上连续函数。证明 若对任意,存在,使。取。则当时,因此。由于x与对称性,还可得。于是。这就证明了是X上连续函数。11. 设 X为距离空间,是X中不相交的闭集,证明存在开集使得。证明 若,则由于,为闭集,必有,使,令,类似,其中,显然是开集,且。 倘若,则必有,使。设。不妨设,则因此,此与矛盾。这就证明 了。12 . 设 X,Y,Z为三个度量空间,f是X到Y中的连续映射,g是Y到Z中的连续映射,证明复合映射是X到Z中的连续映射。证明 设 G是Z中开集,因g是Y到Z中的连续映射,所以是Y中开集。又f是X到Y中的连续映射,故是X中 的开集。这样是X中 的开集,这就证明了g。f是X到Z的连续映射。13. X是度量空间,证明f是连续映射的充要条件是对每个实数c,集合和集合都是闭集。证明 设 f是X上连续的实函数,又对每一实数c,G=(c,)是开集,于是 是开集。这样= 是闭集。同理是闭集。 反之,若对每个实数c,和都是闭集,则和都是开集。设G是直线上的开集,则或,其中是G的构成区间。不妨设于是是开集。因此f是连续的实函数。14. 证明柯西点列是有界点列。证明 设 是X中的柯西点列。对10,存在N,使当n,m时,令则对任意有。因此 是有界点列。15. 证明第一节中空间S,B(A),以及离散的度量空间都是完备的度量空间。证明 (1)S是完备的度量空间设 是S中的柯西点列,对每一个固定的i,由于,因此对任意存在,当时,对此,存在n,m时,因此,从而。这样对固定的i,是柯西点列。设。令,故有,且对任意给定,存在,使。存在使时,。于是当时, +所以按S的距离收敛于x(2)B(A)是完备的度量空间设是B(A)中的柯西点列,任意,存在N,使当n,m时。这样对任意,。因此对固定的t, 是柯西点列。设,由于n,m时,令,得,这样,于是故x (A),且nN时,。这就证明了按B(A)中距离收敛于x。(3)离散的度量空间(X,d)是完备的度量空间设是X中柯西点列,则对0,存在N,当n,m是。特别对一切nN, ,于是nN是。因此,即(X,d)是完备的度量空间。 16. 证明 与C(0,1的一个子空间等距同构。 证明 若 ,定义, 若,则因此T到到(0,1的子空间的一个同构映射,即到(0,1的一个子空间等距同构。17. 设F是n维欧几里得空间的有界闭集,A是F到自身中的映射,并且适合下列条件:对任何,有。 证明映射A在F中存在唯一的不动点。证明 定义F上的函数f(x)=d(Ax,x)。由于因此f是F上的连续映射,因F是有界闭集,必有,使。我们先证明,若,则。记,则,于是此与是f的最小值矛盾。故即=若是A的另一个不动点,则,矛盾。18. 设X为完备度量空间,A是X到X中的映射,记 若,则映射A有唯一不动点。证明 因,则必有N,使。这样对任意x, X,若x,则 这样由压缩映射原理有不动点,即=。由于=A=A, A也是的不动点。的不动点是唯一的,因此= A,即是A的不动点。 若x是A的任意一个不动点,即A x= x。于是x=x= A x= x。这样x也是的不动点,由于的不动点是唯一的,因此= x。即A的不动点也是唯一的。19. 设A为从完备度量空间X到X中映射,若在开球内适合 又A在闭球上连续,并且证明:A在中有不动点。证明 设=,。则 任给0,存在N,使,这样若且,有 因此是柯西列。设,因 因此。这样。因为A在上连续。,即是A在中的不动点。A的不动点不一定是唯一的。例如X是离散的度量空间。A是X中的恒等映射。在开球内只有一点,自然满足条件。而,也满足。但X中每一点皆为A的不动点。20. 设 为一组实数,适合条件,其中当j=k时为1 ,否则为0。证明:代数方程组 对任意一组固定的,必有唯一的解,。 证明 记定义到内的映射T:TX= -AX+X+b。设X 则 由于1,于是T有唯一不动点,即,因此有唯一解。21. 设表示上右连续的有界变差函数全体,其线性运算为通常函数空间中的运算。在中定义范数=,证明是Banach空间。证明 显然是线性空间。下证是赋范线性空间。1 若,显然0。若=0,则=0,即=0,且=0。由=0可知在上为常值函数,于是2 若, 3 若,其中的理由如下:对任意分划 因此再证是完备的。设为中柯西列,对任意,存在,当时,。于是,。而对任意,从而这就证明了是上一致收敛的函数列。设一致收敛于。由于是上右连续的函数,于是对任意,因为在上一致收敛于。因此即亦在上右连续。对任意,存在,当时,= 对上的任一分划,有令, (*) 因此,从而由(*)式及分点的任意性知,从而 即按中范数收敛于。这样我们就证明了是完备的赋范线性空间,即空间。22设是一列空间, 是一列元素,其中,并且这种元素列的全体记成,类似通常数列的加法和数乘,在X中引入线性运算。若令 证明:当时,X是空间。证明 X显然是线性空间。 先证X是赋范线性空间。1 若显然。若,则即对任意,。于是,从而。2 若, 3 若,则再证X是完备的。设是X中柯西列,其中 对任意存在,使当时,即于是对每一个固定的是中的柯西列。设令,由于,因此对任意,令得 再令得 因此从而,且由知按X的范数收敛于。由以上证明可知X是空间。证毕。23设X是赋范线性空间,X*X为两个X的笛卡儿乘积空间,对每个定义 则X*X成为赋范线性空间。证明X*X到X的映射是连续映射。 证明 设则 于是所以,这就证明了是连续映射。24 设是实(复)数域,为赋范线性空间,对每个,定义证明:为到中的连续映射。证明 设同第23题一样可证 由于收敛,必有,使则因此映射是连续的。25. 为一切收敛数列所成的空间,其中的线性运算与通常序列空间相同。在中令证明:是可分的空间。证明 由第七章4例1知是空间。由定义易知是中的线性子空间,且范数定义是一致的。因此要证是空间,由4定理1,只要证是中的闭子空间即可。设 对于任意存在使时,有。特别地即由于因此存在对任意于是于是是柯西列,即下面证明是可分的。 设 则且是可数的。若对任意设对于任给的存在使当时,必有。取有理数使取有理数使 令则且 故是的可数稠密子集。这就证明了是可分的空间。证毕。
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