第24讲 还原问题教学目标 l 学习了解加、减、乘、除运算的变化规律；l 利用逆运算这些规律来解决一些较简单的问题；l 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。知识梳理一、还原问题 已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。二、解题策略 遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。典例分析例1、小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁？【解析】 从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有扩大10倍之前应是10010=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是102=8岁；没有缩小9倍之前应是89=72岁；减去7之后是72岁，没有减去7前应是727=79岁。所以，小刚的奶奶今年是79岁。例2、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘上2，结果得60。这个数是多少？【解析】运用逆推的思想：60除以2得30，加上9得39，减去6得33，除以3得11.例3、某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台？【解析】从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出，剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即9520=115台正好是上午售后剩下的一半，那么1152=230台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来，即23010=240台又正好是总数的一半。那么，2402=480台就是原有洗衣机的台数。例4、粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨。粮库原有大米多少吨？【解析】第一次运出后剩下总数的一半为4+5=9 第一次运出后剩下总数为9x2=18 粮库原有大米吨数的一半为18+3=21 粮库原有大米吨数21x2=42例5、小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？【解析】不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同，可以求最后三个人每人都有故事书603=20本。如果小强不借给小勇5本，那么小强有205=25本，小勇有205=15本；如果小强不向小明借3本，那么小强有253=22本，小明有203=23本。例6、甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张。如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张？【解析】903=30，甲30+3=33 乙=30+5-3=32 丙=30-5=25例7、甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。问两桶油原来各有多少千克？【解析】如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，甲桶内应有油362=18千克，乙桶应有油3618=54千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶，乙桶原有油应为542=27千克，甲桶原有油1827=45千克。例8、王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮，这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张？【解析】李强再拿出同样多的画片给王亮前： 王亮=242=12张 李强=24+12=36张 原来： 李强=362=18张 王亮=12+18=30张例9、两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一半；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多5个。问甲猴最初准备拿几个？【解析】先求出两个猴现在各拿多少，根据“有26个桃”和“这时乙猴比甲猴多2个”，可知乙猴现在拿（262）2=14个，甲猴现在拿2614=12个。甲猴从乙猴那儿抢走一半，又还给乙猴5个后有12个，如果甲猴不还给乙猴，那么甲猴有125=17个；如果甲猴不抢乙猴一半，那么乙猴现在有（2617）2=18个。乙猴看甲猴拿得太多，抢去甲猴的一半后有18个，如果不抢，那么甲猴最初准备拿（2618）2=16个。例10、学校运来36棵树苗，小强和小萍两人争着去栽。小强先拿了树苗若干棵，小萍看到小强拿太多了就抢了10棵，小强不肯，又从小萍那里抢了6棵，这时小强拿的棵数是小萍的2倍。问最初小强准备拿多少棵？【解析】小强又从小明哪儿抢了6棵，这时小明的棵数是36(1+2)=12，小强的棵数是12x2=24； 小强从小明哪儿抢6棵前，小明的棵数是12+6=18，小强的棵数是24-6=18； 那么小明抢了10棵前小强的棵数是18+10=28。例11、24千克水被分装在三个瓶子中，第一次把A瓶的水倒一部分给B、c两瓶，使B、c两瓶的水比原来增加1倍；第二次把B瓶的水倒一部分给A、c两瓶，也使A、c两瓶的水比瓶中已有的水增加1倍；第三次把c瓶的水倒一部分给A、B两瓶，使A、B两瓶的水比瓶中已有的水增加1倍这样倒了三次后，三瓶水同样多问三个瓶中原来各装水多少千克？【解析】我们可以用倒推法来做这个题目，由题意可知，最后一次倒水后，A、B、c三个瓶中各有243=8千克水，由题意可推算出第二次倒水之后A、B、c三个瓶中的水分别为82=4、82=4、82=16千克，再用同样的方法推算出最初A、B、c三个瓶中的水分别是多少最后一次倒水后，A、B、c三个瓶中各有：243=8（千克），第二次倒水之后A、B、c三个瓶中的水分别为82=4（千克），82=4（千克），82=16（千克），第一次倒水后A、B、c三个瓶中的水分别为42=2（千克），4+8+2=14（千克），42=8（千克），最初甲乙丙三个瓶中的水分别：2+4+7=13（千克），142=7（千克），82=4（千克），答：A瓶原来装水13千克，B瓶原来装水7千克，c瓶原来装水4千克，例12、有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板”财迷算了算挺合算，就同意了他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下问：财迷身上原有多少个铜板？【解析】此题采用逆推法解决第5次以后，财迷只剩下32个铜板，相当于第5次过桥前手里有16个；第4次过桥后给了老人32个，所以第四次结束以后手中有48个，相当于第4次过桥前手中有24个；第3次过桥后给了老人32个，所以第3次结束以后手中有56个，相当于第3次过桥前手中有28个；第2次过桥后给了老人32个，所以第2次结束以后手中有60个，相当于第2次过桥前手中有30个；第1次过桥后给了老人32个，所以第1次结束以后手中有62个，相当于第1次过桥前手中有31个实战演练 课堂狙击1、在里填上适当的数：20816=26【解析】4.2、爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃掉了剩下的一半多1个，还剩下1个。爸爸买了多少个橘子？【解析】这题是逆序推理法，从后面往前推 ：最后只剩下1个，因为第三天吃掉了剩下的一半多一个， 所以第二天剩下的有：（11）2=4个，第二天剩下四个是因为第二天吃了剩下的一半多一个，所以第一天剩下的：（41）2=10个，第一天剩下10个是因为吃了这些橘子的一半多一个 ，所以这些橘子：（101）2=22个。3、小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。如果小红给小丽13张，小丽给小敏23张，小敏给小红3张，那么他们每人各有40张。原来三个人各有年历片多少张？【解析】小敏原有：40+3-23=20（张）；小丽原有：40+23-13=50（张）；小红原有：403-20-50=120-70=50（张）4、甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个，如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现有的个数给丙之后，乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后，丙也按同样的方法给甲、乙，这时，他们三个人都有32个玻璃球。原来每人各有多少个？【解析】三人一共323=96个。丙给甲乙之前：甲:322=16个，乙:322=16个，丙:96-16-16=64个。乙给甲丙之前：甲:162=8个，丙:642=32个，乙:96-8-32=56个。甲给乙丙之前,即原来：乙:562=28个 丙:322=16个 甲:96-28-16=52个。5、将某数的3倍减5,计算出答案,将答案再3倍后减5,计算出答案,这样反复经过4次,最后计算的结果为691,那么原数是_.【解析】第四次计算后的结果为691，第三次计算后的结果为：（691+5）3=232， 第二次计算后的结果为:（232+5）3=79，第一次计算后的结果为（79+5）3=28； 原数为：（28+5）3116、一只猴子摘了一堆桃子,第一天它吃了这堆桃子的七分之一,第二天它吃了余下桃子的六分之一,第三天它吃了余下桃子的五分之一,第四天它吃了余下桃子的四分之一,第五天它吃了余下桃子的三分之一,第六天它吃了余下桃子的二分之一,这时还剩12只桃子,那么第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是_.【解析】第6天吃了12个，共24个； 第5天吃了12个，共36个； 第4天吃了12个，共48个； 第3天吃了12个，共60个； 第2天吃了12个，共72个； 第1天吃了12个，总共84个7、 一个车间计划用5天完成加工一批零件的任务,第一天加工了这批零件的51多120个,第二天加工了剩下的 41少150个,第三天加工了剩下的31多80个,第四天加工了剩下的21少20个,第五天加工了最后的1800个.这批零件总数有多少个? 【解析】第四天:（1800-20）（1-1/2）=3560个 第三天:（3560+80）（1-1/3）=5460个 第二天:（5460-150）（1-1/4）=7080个 第一天:（70800+120）（1-1/5）=9600个 课后反击1、小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9，除以4，减去2，再乘上3，恰好是30岁。”王老师今年多少岁？【解析】（303+2）4-9=（10+2）4-9=124-9=48-9=39（岁）2、某水果店卖菠萝，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1个，这时只