22.5等腰梯形的性质（1）新民中学 陆金晶一、教材分析：本节课的内容选自上海教育出版社出版，九年义务教育课本，数学八年级第二学期第二十二章四边形，第三节梯形中的等腰梯形第一课时。在学习研究了三角形后，第二十二章以四边形为研究对象，着重研究了平行四边形、矩形、菱形、正方形及等腰梯形这几类特殊的四边形等腰梯形是本章研究的最后一类特殊的四边形，通过学习、研究等腰梯形的有关知识，进一步明确研究直线型图形的性质和方法本课为等腰梯形的第一课时，教学内容为等腰梯形的性质教材注重建立等腰梯形与等腰三角形之间的联系，借助研究平行四边形性质的已有经验，得出等腰梯形的两条重要性质本课教学内容的核心是，对于等腰梯形性质的探究及运用，都是将等腰梯形的问题转化为已经熟悉的三角形或平行四边形的问题，并加以解决在探究性质和解决问题的过程中，渗透了类比、化归等数学思想因此，本节课是前期知识的综合运用，同时也是后续学习等腰梯形判定定理等知识的基础二、学情分析：学生前期已经学习了一些特殊四边形的有关概念，研究了平行四边形和特殊平行四边形矩形、菱形、正方形的性质和判定定理，具备了一定的推理证明的能力，知道了等腰梯形的概念初二的学生正处于独立思维发展的重要阶段，对数学的求知欲相当强，并且具有一定的好胜心，具备一定的逻辑推理能力，以及自主探究问题的学习能力当然，还存在一定的其他问题：1学生前期相关知识掌握不熟练学生在此之前已经学过多边形的内角和、平行四边形及特殊的平行四边形矩形、菱形、正方形的性质和判定，知道了梯形的有关概念但由于是我校学生在前阶段四边形的综合知识的整合贯穿略有瑕疵，所以在教学过程中可能会遇到一些常规问题受阻的情况例如部分同学：什么是等腰梯形？又如，我们可以从哪些方面探究等腰梯形的性质？如果等腰梯形的概念不清楚，或探究平行四边形性质的基本方法不了解，那么这部分学生就无法完整或正确地回答这些基础性问题2概念的互相干扰由于本节课的学习是建立在等腰梯形与等腰三角形的相互联系上，因此学生会将等腰梯形在同一底上的两个内角相等，描述为等腰梯形的底角相等由于梯形的四个内角都可以称为底角，因此必须指清是哪两个底角相等3无法正确添加辅助线或选择添加适当的辅助线在研究、解决梯形的问题时，经常需要添加适当的辅助线常见的辅助线有：作高、平移一腰、延长两腰、平移对角线、作对角线等虽有多种常规辅助线的添加方法，但如果不了解添加辅助线的目的，那么何时需要添加辅助线？添加何种辅助线？都会困扰部分学生例如，在证明等腰梯形同一底边上的两个内角相等时，添加“作高”或“平移一腰”是较为方便的方法，部分学生可能会想不到添加辅助线，从而无从着手也有可能会有学生延长两腰交于一点构造等腰三角形，但由于目前学生还未学习平行线分线段成比例的有关知识，因此无法解决这个问题4会添加辅助线，但不明白添加辅助线的意义和作用不少学生在解决问题的时候，只关注怎么做，而不知道为什么要这么做，表现为老师讲的都听得懂，自己独立解决问题时就有困难“怎么做”是思维结果的呈现，而“为什么要这么做”是有一个正确的逻辑思维过程，显然后者比前者更具有研究的价值例如，在添加辅助线解决等腰梯形的问题时，为了让学生将隐性的思维过程显性化，在学生已经回答怎么做的前提下，我会追问：你是怎么想到用这种方法解决这个问题的？而在这个环节中，可能会有学生无法用语言正确表达自己的思维过程三、教学目标及教学重难点：1教学目标：掌握等腰梯形的性质定理，能初步运用等腰梯形的性质定理进行计算和证明会通过添加适当的辅助线，将等腰梯形的问题转化为三角形、平行四边形等已经学习、研究过的问题，从而解决等腰梯形的有关问题经历等腰梯形性质定理的探究、推导过程，体会类比、化归等数学思想，提高探索问题、分析问题和解决问题的能力；通过交流，促进理解，进而提高学习、研究数学的兴趣2. 教学重难点：重点： 探究、掌握等腰梯形的性质，并会初步运用等腰梯形的性质解决有关问题难点： 添加适当的辅助线，将等腰梯形的问题转化为三角形、平行四边形等问题四、教学过程及设计：（一）复习引入:1复习等腰梯形与等腰三角形的联系任意一个三角形，沿平行于一边的直线剪开，由此得到的四边形是梯形；如果三角形是等腰三角形，沿平行于底边的一条直线剪开，由此得到的梯形是等腰梯形2复习等腰梯形的概念两腰相等的梯形叫做等腰梯形3引入课题今天我们将进一步认识等腰梯形，学习等腰梯形的性质【设计意图】上一节课已经建立了梯形与三角形之间的联系，以学生现有的知识经验为基础，本节课希望再次构建等腰梯形与等腰三角形之间的联系，进而为探究等腰梯形的性质作准备（二）探究新知问题一：我们可以从哪些方面探究等腰梯形的性质？1探究等腰梯形的性质，即在已经知道四边形是等腰梯形的前提下，探究等腰梯形各要素所具有的特征2类比平行四边形性质的探究过程，我们同样可以从边、角、对角线、对称性这四个方面探究等腰梯形的性质【设计意图】学生已经学习了三角形、平行四边形和特殊平行四边形的性质定理，积累了一些探究直线型图形性质的经验，因此这样问的目的是：进一步明确从哪些方面探究直线型图形的性质问题二：从边、角、对角线、对称性几个维度看，你认为等腰梯形具有怎样的性质？1从边的维度看，等腰梯形的对边平行，两腰相等由等腰梯形的定义可以直接得到，不需要证明2从角的维度看，等腰梯形在同一底上的两个内角相等（1）类比：等腰三角形的两个底角相等，那么等腰梯形是否也具有类似的性质？（2）猜想：等腰梯形在同一底上的两个内角相等（3）证明：给出图形，给出已知求证，学生进行推理论证（4）小结：无论是平移一腰还是作高，无论是在形内分割，还是在形外补充，都是将等腰梯形的问题，转化为三角形、平行四边形等已经学习、研究过的问题3从对角线的维度看，等腰梯形的两条对角线相等（1）猜想：等腰梯形的两条对角线相等（2）证明：给出图形，给出已知求证，学生口述证明过程4从对称性的维度看，等腰梯形是轴对称图形，对称轴是两底中点的连线所在的直线（1）由观察、操作得到；（2）由等腰三角形是轴对称图形，推导得到等腰梯形也是轴对称图形【设计意图】引导学生通过类比的方法对等腰梯形的性质进行探究，渗透类比、数学猜想等数学思想，提高学生探究问题的意识和能力；通过学生各抒己见的交流，提高学生数学交流的意识和能力，促进有关知识的理解，从而进一步提高学生学习数学的兴趣5. 性质归纳（1）等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等（2）等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等（3）等腰梯形是轴对称图形，对称轴是两底中点的连线所在的直线【设计意图】此环节是对学生之前的探究活动作一个小结，目的是归纳等腰梯形的两条性质定理，以及等腰梯形的对称性，帮助学生理清等腰梯形的性质，起到提纲挈领的作用（三）运用新知第一题：已知：如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=CD（1）如果B=60，你可以求出哪些角的度数？【设计意图】本题是“等腰梯形在同一底上的两个内角相等”的直接运用，达到初步运用性质定理1的目的（2）如果B=60，AD=8，BC=16，求AB的长【设计意图】在前一题的基础上，本题侧重等腰梯形常见辅助线的添加方法这一小题难度不大，但解法较多，给学生营造一个思维的空间本题可以通过添加“平移一腰”、“作高”、“延长两腰”等不同的辅助线解决，本质上都是将等腰梯形的问题转化为三角形、平行四边形等已经学习、研究过的问题在解决问题的过程中，体会转化的方法，渗透化归的数学思想本题采用的形式是由学生上台为大家讲解，培养学生的数学交流意识和逻辑表达能力，感受成功的喜悦第二题：已知：如图2，在等腰梯形ABCD中，ADBC，延长BC到点E，使CE=AD，联结DE求证：DE=BD【设计意图】本题主要有两种不同的证明方法方法一，利用ABDCDE，得到DE=BD，这种方法需要用到等腰梯形的性质定理1，即“等腰梯形在同一底上的两个内角相等”；方法二，添加辅助线，联结AC，运用线段间的等量代换得到，这种方法需要用到等腰梯形的性质定理2，即“等腰梯形的两条对角线相等”通过这一道题目，期望达到巩固刚学的等腰梯形两条性质定理的目的，同时考虑到本节课的教学目标为初步运用等腰梯形的性质定理，所以未将难度稍高的平移对角线的问题作为本节课的教学内容，但在学生用方法一解决这个问题的时候，可以体会在这个图形中梯形ABCD的面积与等腰三角形BDE的面积相等，渗透等积变换的思想（四） 自主小结:（1）等腰梯形具有哪些性质？（2）在解决等腰梯形的问题时，我们常用的辅助线有哪些？作用分别是什么？（3）通过本节课的学习，你有怎样的感受？还有什么疑问？【设计意图】从知识上总结本节课从边、角、对角线、对称性四个方面探究了等腰梯形的性质，从方法上归纳解决等腰梯形的问题时，经常需要通过添加适当的辅助线，达到将问题转化为三角形、平行四边形的问题加以解决，从思想上渗透类比、化归等数学思想结合学生的自主小结，教师适当补充，倾听学生疑问，使得小结起到梳理本节课所学的知识，巩固本节课所学的方法等目的（五） 作业布置:1完成练习册22.5（1）2已知：如图3，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，AD=3，BC=5，求等腰梯形ABCD的面积【设计意图】作业1，完成练习册为基础作业，目的是巩固课堂上所学的等腰梯形的性质，能初步运用等腰梯形的性质进行几何计算和证明作业2，要求稍作提高，利用平移对角线将等腰梯形的面积转化为等腰三角形的面积（也可利用等腰梯形的性质定理1，证得AOD和BOC都是等腰直角三角形，利用其有关性质解决问题），虽然课堂上并未出现这种辅助线的添加情况，但在运用新知第二题中，我已有意识地设计了一道练习题，渗透了等积变换的想法，因此学生在课后完成这道练习题虽有困难，但应该属于“跳一跳摘到桃子”的问题.