精品教育三角形的证明【知识点一：全等三角形的判定与性质】1判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等2证题的思路：【典型例题】1用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOC=BOC的依据是（）ASSS BASA CAAS D角平分线上的点到角两边距离相等2下列说法中，正确的是（ ）A两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D面积相等的两个三角形全等3如图，ABCADE，若B80，C30，DAC35，则EAC的度数为（ ）A40B35C30D254已知：如图，在MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQNQ求证：HNPM.5用三角板可按下面方法画角平分线：在已知AOB的两边上，分别取OMON （如图57），再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分AOB，请你说出其中的道理 图57【巩固练习】1下列说法正确的是（ ）A一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B斜边相等的两个直角三角形全等C斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D一边长相等的两等腰直角三角形全等2如图，在ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若ADBEDBEDC，则C的度数为（）A15 B20 C25 D303如图，已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和ABC全等的图形是 （ ）A甲和乙B乙和丙C只有乙D只有丙4如图49，已知ABCABC，AD、AD分别是ABC和ABC的角平分线（1）请证明ADAD；（2）把上述结论用文字叙述出来；（3）你还能得出其他类似的结论吗? 图495如图410，在ABC中，ACB90，ACBC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EFAEBF 图410（2）如图411，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系ADBD；ADBD；ADBD图411【知识点二：等腰三角形的判定与性质】等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）等腰三角形的性质： 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； 等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等【典型例题】1等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A12B15 C12或15D182等腰三角形的一个角是80，则它顶角的度数是（）A80B80或20C80或50D203已知ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（）A0x3Bx3 C3x6 Dx64如图，MON=43，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，要使AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（）A1个 B2个 C3个D4个5如图，在ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，DE过O且平行于BC，已知ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求ABC的周长6、如下图，在ABC中，B=90，M是AC上任意一点（M与A不重合）MDBC，交ABC的平分线于点D，求证：MD=MA. 【巩固练习】1如图，已知直线ABCD，DCF=110且AE=AF，则A等于（）A30B40C50D702下列说法错误的是（）A顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等B顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等D两个等边三角形全等3如图，是一个55的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1点A和点B在小正方形的顶点上点C也在小正方形的顶点上若ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（）A6B7C8D94如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A6B7C8D95如图：E在ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D作DGAC交BC于G求证：（1）GDFCEF；（2）ABC是等腰三角形【知识点三：等边三角形的判定与性质】判定：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60的三角形是等边三角形；有两个叫是60的三角形是等边三角形性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60【典型例题】1下列说法中不正确的是（）A有一腰长相等的两个等腰三角形全等B有一边对应相等的两个等边三角形全等C斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等D斜边相等的两个等腰直角三角形全等2如图，在等边ABC中，BAD=20，AE=AD，则CDE的度数是（）A10B12.5C15D203、如右图，已知ABC和BDE都是等边三角形，求证：AE=CD. 【变式练习】1下列命题：两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线；等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形其中错误的有（ ）A1个B2个C3个D4个2如图，AC=CD=DA=BC=DE则BAE是BAC的（）A4倍 B3倍 C2倍 D1倍3如图，等边ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上若DE=DB，则CE的长为 4如图，等边ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD=CE，连接AD、BE交于F点，则FAE+AEF的度数是（）A60 B110 C120 D1355如图，已知：MON=30，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3在射线OM上，A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4均为等边三角形，若OA1=1，则A6B6A7的边长为（）A6 B12C32 D646.如图，M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q（1）求证：BQM=60；（2）如图，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，给予证明；若不成立，说明理由7如图，C为线段BD上一点（不与点B，D重合），在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点F，AD与CE交于点H，BE与AC交于点G（1）求证：BE=AD；（2）求AFG的度数；（3）求证：CG=CH【知识点四：反证法】反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立这种证明方法称为反证法【基础练习】1、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为（）Aa、b、c都是奇数 Ba、b、c或都是奇数或至少有两个偶数Ca、b、c都是偶数 Da、b、c中至少有两个偶数2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反证假设正确的是（）A假设三内角都不大于60 B假设三内角都大于60C假设三内角至多有一个大于60 D假设三内角至多有两个大于603、证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角【知识点五：直角三角形】1、直角三角形的有关知识l 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；l 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；l 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半2、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.【典型例题】1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0；（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等2使两个直角三角形全等的条件是（）A一个锐角对应相等B两个锐角对应相等C一条边对应相等D两条边对应相等3等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A7B6C5D44如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）A1 B C D25如图，在ABC中，C=90，B=30，AD是BAC的平分线，若CD=2，那么BD等于（）A6B4 C3 D26如图，在44正方形网格中，以格点为顶点的ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（）ABC4 D37如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F（1）求证：ACEBCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗? 请证明你的结论