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1在等比数列an中,若首项a11,公比q4,则该数列前5项和S5_.解析 在等比数列an中,因为a11,q4,所以S5341. 答案 3412(20xx邯郸大名一中月考改编)若等比数列an满足a1a320,a2a440,则公比q_解析 q2.答案 23等比数列an的前n项和为Sn,已知S3a210a1,a59,则a1_解析 设等比数列an的公比为q,由S3a210a1得a1a2a3a210a1,即a39a1,q29,又a5a1q49,所以a1.答案 4若数列an的前n项和为Snan,则数列an的通项公式是an_.解析 Snan,Sn1an1(n2),相减得ananan1,即an2an1(n2)又S1a1,即a11,故an(2)n1.答案 (2)n15(20xx常州第二次质量预测)设等比数列an的前n项和为Sn,若27a3a60,则_解析 由题可知an为等比数列,设首项为a1,公比为q,所以a3a1q2,a6a1q5,所以27a1q2a1q5,所以q3,由Sn,得S6,S3,所以28.答案 286(20xx南京高三模拟)若等比数列an的各项均为正数,且a3a12,则a5的最小值为_解析:设等比数列an的公比为q(q0且q1),则由a3a12,得a1.因为a3a120,所以q1,所以a5a1q4.令q21t0,所以a528,当且仅当t1,即q时,等号成立,故a5的最小值为8.答案:87设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的实数x,yR,都有f(x)f(y)f(xy),若a1,anf(n)(nN*),则数列an的前n项和Sn的取值范围是_解析 由已知可得a1f(1),令xn,y1,所以f(n)f(1)f(n1),所以f(1),所以an是以f(1)为首项,f(1)为公比的等比数列所以anf(n)f(1)n,所以Sn1.因为nN*,所以Sn1.答案 8已知an是等比数列,a22,a5,则a1a2a2a3anan1(nN*)的取值范围是_解析 因为a5a2q3,所以2q3,所以q,所以a14,所以an423n,所以akak1,所以a1a2a2a3anan13232.答案 9已知an是首项为1的等比数列,若Sn是an的前n项和,且28S3S6,则数列的前4项和为_解析 设数列an的公比为q.当q1时,由a11,得28S328384.而S66,两者不相等,因此不合题意当q1时,由28S3S6及首项为1,得,解得q3.所以数列an的通项公式为an3n1.所以数列的前4项和为1.答案 10已知数列an满足a12且对任意的m,nN,都有an,则数列an的前n项和Sn_解析:因为an,令m1,则an,即a12,所以an是首项a12,公比q2的等比数列,Sn2n12.答案:2n1211已知等差数列an满足a22,a58.(1)求an的通项公式;(2)各项均为正数的等比数列bn中,b11,b2b3a4,求bn的前n项和Tn.解 (1)设等差数列an的公差为d,则由已知得所以a10,d2. 所以ana1(n1)d2n2.(2)设等比数列bn的公比为q,则由已知得qq2a4,因为a46,所以q2或q3.因为等比数列bn的各项均为正数,所以q2.所以bn的前n项和Tn2n1.12(20xx杭州模拟)设等差数列an的首项a1为a(a0),前n项和为Sn.(1)若S1,S2,S4成等比数列,求数列an的通项公式;(2)证明:对nN*,Sn,Sn1,Sn2不构成等比数列解 (1)设等差数列an的公差为d,则Snnad,所以S1a,S22ad,S44a6d.因为S1,S2,S4成等比数列,所以SS1S4,即(2ad)2a(4a6d),整理得d(2ad)0,所以d0或d2a.当d0时,ana(a0);当d2a时,ana(n1)d(2n1)a(a0)(2)证明:不妨设存在mN*,使得Sm,Sm1,Sm2构成等比数列,则SSmSm2,得a2madm(m1)d20,(*)若d0,则a0,这与已知矛盾;若d0,要使数列an的首项a存在,则必有(*)式的0,然而(md)22m(m1)d2(2mm2)d21,因此a11,am16,Sm,即31,解得q2,ama1qm12m116,m5.答案 53(20xx山西省四校联考)等比数列an满足an0,nN*,且a3a2n322n(n2),则当n1时,log2a1log2a2log2a2n1_.解析 由等比数列的性质,得a3a2n3a22n,从而得an2n,所以log2anlog22nn.log2a1log2a2log2a2n112(2n1)n(2n1)答案 n(2n1)4(20xx江苏省高考名校联考(一)设Sn为数列an的前n项和,若数列an与数列(t1)分别是公比为q,q的等比数列,则qq的取值范围为_解析:若q1,则tnt,不成等比数列,故q1,则tt,考虑前三项1t,t,t成等比数列得,t,反之,当t时,t成等比数列,此时,公比为,即q.由t1,得1,q1,qqq2,故qq的取值范围是(2,)答案:(2,)5已知首项为的等比数列an不是递减数列,其前n项和为Sn(nN*),且S3a3,S5a5,S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式;(2)设TnSn(nN*),求数列Tn的最大项的值与最小项的值解 (1)设等比数列an的公比为q,因为S3a3,S5a5,S4a4成等差数列,所以S5a5S3a3S4a4S5a5,即4a5a3,于是q2.又an不是递减数列且a1,所以q.故等比数列an的通项公式为an(1)n1.(2)由(1)得Sn1当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以1SnS1,故0SnS1.当n为偶数时,Sn随n的增大而增大,所以S2SnSnS2.综上,对于nN*,总有Sn.所以数列Tn的最大项的值为,最小项的值为.6(20xx江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五)已知数列an中,an0,其前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn,且Tn1(nN*)(1)求a1;(2)若bn2Sn,证明:数列bn是等比数列;(3)在(2)的条件下,已知数列cn,dn满足|cn|dn|,若p(p3)是给定的正整数,数列cn,dn的前p项和分别为Qp,Rp,且QpRp.求证:对任意的正整数k(1kp),ckdk.解 (1)当n1时,由题意得,T11,即1,所以a11.(2)证明:因为Tn1,所以当n2时,Tn11.由,得(n2,nN*),所以(2Sn)(2Sn1)2a2(2Sn1)(2Sn)2,即bnbn12(bn1bn)2,所以,所以2或(n2,nN*)又数列an的各项均为正数,所以数列2Sn,即数列bn单调递减,所以(n2,nN*)因为a11,所以b110,所以数列bn是以1为首项,为公比的等比数列(3)证明:由(2)知,bn(nN*)因为|cn|dn|2n1,所以cpdp或cpdp.若cpdp,不妨设cp0,dp0.Rp2p1(2p22p3211)10.这与QpRp矛盾,所以cpdp.从而Qp1Rp1.由以上证明,可得cp1dp1.如此下去,可得cp2dp2,cp3dp3,c1d1.即对任意的正整数k(1kp),ckdk.
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