1.3.2杨辉三角 教学设计 数学组 贾天雷一、教学目标知识与技能：掌握杨辉三角及二项式系数的性质，会利用二项式系数的性质及赋值法解决问题.过程与方法：通过“观察、归纳、论证”二项式系数的性质这一过程，提高学生的数学素养，体会由特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.情感、态度与价值观：通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，培养学生团结协作的精神，提高和发展学生的运算能力、观察能力、归纳总结的能力，孕育学生创新精神，激发学生探索热情. 同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感二、学情分析杨辉三角是选修2-3第1章第3节第2课时的内容。知识上学生已经学习了两个计数原理、组合数的性质和二项式定理等，已经具备了对二项式部分性质的归纳和证明的能力。同时对于高二的学生也已经基本接触了大部分高中数学思想方法，为突破本节课的难点奠定了基础.学生在数学学科的学习特点存在较大的差异，而通过在教学中长期开展自主探究等学习性活动，学生间加强开展团结互助、合作交流等学习方式，学生能够克服学习差异性问题。学生之间也已经具备了一定的解决问题的能力，课堂上学生在教师的适当指导下，能够完成本节课的难点，即：二项式系数性质的发现与证明.三、重点难点重点：杨辉三角及二项式系数的性质，二项式系数性质的应用难点：由杨辉三角发现二项式系数的性质以及性质的证明.四、教学过程活动一复习引入：由学生集体回忆前面学过的相关知识：（1）二项式定理；（2）二项展开式的通项公式；（3）二项式系数【设计意图】通过复习引入，调动学生已有的相关知识，对本节课的学习起到承上启下的作用。活动二探究一：计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表:问题：通过计算填表，你发现了什么规律?回答：每一行的第一个数和最后一个均为1；每一行的数据都是对称的，即每一行与首末两端等距离的两项二项式系数相等.教师引导学生将这些性质在组合数的体现上回答出来，即Cn0=Cnn=1；Cnm=Cnn-m.这样的表格并不能很好的体现对称性，于是重新对称排列表格，引出“杨辉三角”.【设计意图】学生通过填表的活动巩固二项式定理的知识和二项式系数的运算，并发现二项式系数具有的一些规律；同时让学生发现这样的表格不利观察二项式系数的更多规律，进而引发思考：如何排表更方便观察呢？借此自然的引出“杨辉三角”.活动三探究二：杨辉三角将表格中的系数变换一种形式得到杨辉三角(a+b)11 1(a+b)2 1 2 1(a+b)3 1 3 3 1(a+b)4 1 4 6 4 1(a+b)5 1 5 10 10 5 1(a+b)6 1 6 15 20 15 6 1这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似的表。杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.问题：同学们能借助杨辉三角发现一些新的规律吗？【设计意图】通过对“杨辉三角”的介绍，让学生了解我国古代数学的伟大成绩，加强学生的爱国情感教育.活动四探究三：二项式系数的性质1 学生通过对杨辉三角的观察发现每一行的二项式系数先增大后减小，中间一项或者两项的值最大追问：什么时候是中间一项最大，什时候是中间两项最大回答：当n为偶数时中间一项最大，n是奇数时中间两项最大追问：n为偶数时中间一项是第几项，此时二项式系数为？那么奇数时呢？回答：n为偶数时中间一项Tn2+1 的二项式系数最大，为Cnn2; n为奇数时中间两项Tn+12和Tn+12+1的二项式系数最大，为Cnn-12和Cnn+122.继续观察还有什么规律吗？若同学们发现不了可以小组讨论，合作探究，教师可启发学生观察相邻两行，看能否有所发现.派代表来回答回答：从第二行开始，除1以外的每个数都等于它肩上两个数的和追问：这反应了组合数的什么性质？回答：Cn+1m=Cnm+Cnm-13.继续启发学生，我们不妨把每行的二项式系数做和看看，能否有所发现.回答：第一行和为2，第二行和为4，第三行和为8，第六行为64问题：那么第n 行呢？回答：2n于是猜想Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n让同学们证明上面的猜想是否正确，可以启示学生：这些二项式系数在哪个等式中出现过，学生回答二项式定理，接着启示：那么如何处理掉二项式定理中我们不需要的字母a与b呢？学生回答令它们都为1.于是猜想得证.总结：证明这个问题我们用到了一种方法赋值法.这种方法是根据我们的需要给式子中的字母恰当赋值.4.刚才是把二项式系数全部加起来求和，如果我们把二项展开式中奇数项的二项式系数求和，再把偶数项的二项式系数求和，有能得出什么结论呢？小组讨论后展示成果.学生受到上面赋值法思想的启发，在二项式定理中令a=1,b=-1得出展开式的奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和即Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+Cn5+=2n-1.【设计意图】学生通过教师的引导，学习感受从多角度认识同一事物。经过独立的思考，为交流合作做好铺垫；通过学习小组的交流合作，及成果展示，让学生的不同想法得以展示，获得学习成功的成就感.通过学生在归纳猜想出二项式系数的和的基础上，引导学生验证猜想结论是否正确；同时利用赋值法证明二项式系数的和；为了巩固并运用这种方法，将问题拓展到分析奇数项、偶数项的二项式系数和，将学生思维推向高潮。活动五探究四 二项式系数性质及赋值法的应用例：在（1-2x）7的二项展开式中，分别求(1)二项式系数最大项为第几项，此时二项式系数为？答：二项式系数最大项为第4项和第5项；二项式系数为C73=35(2)二项式系数的和.答：27=128(3)奇数项二项式系数的和. 答：26=64(4)各项系数和. 答：设（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a7x7令x=1,则a0+a1+a2+a3+a7=-1【设计意图】通过例题，巩固二项式系数的性质及赋值法.变式：已知（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a7x7，分别求(1)a1+a2+a3+a7解：令x=1,则a0+a1+a2+a3+a7=-1令x=0,则a0=1所以a1+a2+a3+a7=-2(2)a1+a3+a5+a7解：令x=1,则a0+a1+a2+a3+a7=-1令x=-1,则a0-a1+a2-a3+-a7=37=2187所以a1+a3+a5+a7=-1-21872=-1094(3)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a7|解：方法一：|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a7|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=2187方法二：（1+2x）7的各项系数和即为所求，令x=1，得结果为37=2187(4)a12+a222+a323+a727解：令x=12，则a0+a12+a222+a727=0又a0=1，则a12+a222+a323+a727=-15a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7解：对（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a7x7两边同时求导得7（1-2x）6（-2）=a1+2a2x+3a3x2+7a7x6在上式中令x=1,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7=7-2=-14【设计意图】通过变式题，将所求题目多次变形，意在使学生灵活的掌握赋值法.活动六探究五 杨辉三角中的秘密前面借助杨辉三角讨论了二项式系数的一些性质. 在观察二项式系数的数字规律这一环节，我们从不同的角度观察，如同一行横着看、上下两行看；那又看什么呢？可以看大小、看关系、看和等等。你还能看出杨辉三角中还藏着什么秘密吗？提示学生观察角度可以斜着看。问题：1+2+3+Cn-11=1+3+6+Cn-12= 1+4+10+Cn-13=通过计算，能否得出一般性的结论回答：Crr+Cr+1r+Cr+2r+Cn-1r=Cnr+1问题：如何来证明？回答：学生用组合数的性质可将其证明今天我们展示了二项式系数的一些性质，但杨辉三角中的规律奥妙无穷，只要大家从不同角度合情推理，用你们热情和严谨的态度必能发现更多.课下同学们可以继续探究.【设计意图】“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”让学生感受从多角度对待同一事物的妙处. 最后要求同学们课下继续探究，使学生逐步建立课堂内外都有的探究意识，培养学生自主研修的习惯。活动七小结：请同学们总结一下本节课的收获1、数学知识：杨辉三角及二项式系数的性质 2、数学思想方法：归纳猜想法 赋值法【设计意图】学生通过对本节课的总结与反思，表达自己在课堂上收获的知识与培养的情感，使学生更好的掌握主干知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法，同时教师可以在这一环节检查自己的预设目标是否达到，以便做好课后反思。活动八当堂检测1.若(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则（a0+a2+a4）2-(a1+a3)2的值是_.2设(1x)na0a1xanxn，若a1a2an63，则n=_3. 在（x-y）11的展开式中二项式系数最大项是第_项；系数最大项是第_项；二项式系数的和为_；各项的系数和为_.4. 已知的展开式中，只有第6项的系数最大，求展开式中的常数项.5.若，求：（1）； （2）a0a2a4（3）答案：1.1 ； 2. 6 ；3.6或7、7、2048、0 ；4.252 5.（1）243（2）122（3）27【设计意图】通过当堂反馈练习，巩固本节课内容，检测学生听课效果。活动九作业：必做: 2-3练习册 P13全部 P14-14题 选做：练习册 P14-13 思考探究：由杨辉三角还能得出二项式系数的哪些性质，小组探究查阅资料来完成【设计意图】进一步巩固课堂上所学知识