竞赛中的三角函数例题选讲【内容综述】一三角函数的性质1.正，余弦函数的有界性对任意角,，奇偶性与图象的对称性正弦函数，正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象关于原点对称，同时y=sin的图象还关于直线对称：余弦函数是偶函数,从而y=cos的图象关于y轴对称,同时其图象还关于直线对称3.单调性=snx在上单调递增,在上单调递减：=co在上单调递增,在上单调递减；y=tnx在上都是单调递增的;yco在上都是单调递减的。4周期性yinx与y=cosx的最小正周期是，y=tanx与y=cosr 的最小正周期是。【例题分析】 例1 已经知道圆至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小值点,务实数k的取值范围。解由于是一个奇函数,其图象关于原点对称,而圆也关于原点对称，因此,图只需覆盖的一个最值点即可。 令，可解得的图象上距原点最近的一个最大值点,依题意,此点到原点的间隔不超过|k，即 综上可知，所求的K 为满足的一实在数。 例2 已经知道,且 求 o(x+2y）的值。解 原方程组可化为 由于因此令，则在上是单调递增的,因此由得 f(x)f(2y) 得 x=-y 即x+=0 例3 求出(并予以证明）函数 解首先，对任意，均有 这说明,是函数f(x)的一个周期其次，设，是f（x）的一个周期,则对任意,均有 在上式中，令x=0，则有 。两边平方,可知 即 sinT=0,这说明，矛盾。 综上可知，函数的最小正周期为。 例3 求证：在区间内存在唯一的两个数，使得 sin(os）c, cos(si)= 证,构造函数 f()=cos(sinx)- f()在区间内是单调递减的,由于 f(0)=cs(sn0)-0=10. 故存在唯一的，使(d）=0，即 (sind)d 对上述两边取正弦,并令c=sind,有 sn(cos（sind)sind sn(cos)=c显然，由于y=sin在是单调递增的,且d是唯一的,因此c也是唯一的，且 例4 已经知道对任意实数x,均有 求证: 证首先,（)能够写成其中是常数，且, 在式中,分别令和得 +,得 又在式中分别令，得 由+,得【才能训练】（组)1.求函数的单调递增区间2.已经知道是偶函数，,求3.设,试比拟的大小。4证明：对因此实数x,y，均有5.已经知道为偶函数，且t满足不等式,求的值。(B组）6.已经知道,且满足：（1);(2)；（3)。求f（）的解析式7.证明:对任意正实数x，以及实数均有不等式.已经知道当时,不等式恒成立，求的取值范围。9.设,，求乘积的最大值和最小值。参考答案【才能训练】A组 12由偶函数的定义，有 上式对任意成立，故 因此 首先，又 , 即4只需证明不能同时成立，假设不然，则存在整数m,，k，使得 即 矛盾 5.由题设，得 即 由于上式对任意x成立，故in1,结合，即-0时，有 此方程组与联立后无解 （2）当且0且有 此方程组与联立后无解。(4）当且,有 此方程组与联立后无解,得上可知，。 .原不等式等价于假设,则 假设 故原不等式成立 8令，由条件可得因此在第象限,原不等式可化为 由于结合原不等式对任意x0,1都成立，可知取最小值亦成立，即 由条件知，因此