第二章 有理数 单元复习教学过程：（一）本章知识结构 （二）有理数的有关概念 1. 有理数：主要掌握有理数的分类方法，它有两种分类方法：一种是按整数和分数分类，另一种是按性质分类。这两种的分类标准不同，所以结果也不同。但无论依据什么标准分类，分类的时候都应做到不漏不重，有时为了研究需要，整数也可以看作是分母为1的分数，从这种意义上讲，有理数就是分数。 有理数的分类： 2. 数轴：原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可。有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数。利用数轴可以比较有理数的大小，在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。 3. 相反数： 只有符号不同的两个数是互为相反数，除零以外，相反数总是一正一负，成对出现的。在数轴上看，表示互为相反数的两个点分别在原点的两侧，而且到原点的距离相等。 （1）通常用a与表示一对相反数。 （2）若a与b互为相反数，则。 （3）互为相反数的两个数的绝对值相等，即。 （4）若，则，或（a与b互为相反数）。 4. 绝对值： 由绝对值的几何意义可知：一个数的绝对值是指在数轴上表示该数的点与原点的距离。因为距离总是正数或零，所以有理数的绝对值不可能是负数，即。 从绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，综合到一起我们可以得到任何一个有理数的绝对值都是非负数。 （1）若，则； （2）若，则； （3），绝对值的非负性。 5. 倒数与相反数： 倒数与相反数都是成对出现的，单独一个数不能称是倒数或相反数，互为倒数的两个数符号相同，互为相反数的符号相反，0没有倒数，但是它有相反数。 （1）通常用与表示一对倒数。 （2）倒数等于它本身的数是1和。 （3）零没有倒数。 6. 近似数和有效数字： 在实际运算中，经常遇到近似数，注意按要求的精确度或有效数字进行计算。对于较大的数用科学记数法表示，既方便又能体现有效数字的优点。（三）有理数的大小的比较 方法1：正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的反而小。 方法2：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 方法3：在有理数的大小比较法中，有的不能直接比较两个数的大小，可采取相减法、相除法以及寻找第三等量等方法。（四）有理数的运算 1. 有理数加减法： 有理数的运算的实质是确定符号和绝对值的问题，进行加减运算时，应先确定结果的符号，再确定结果的绝对值，有理数的减法是加法的逆运算，也就是先转化成加法再进行计算。 2. 有理数的乘除法、乘方： 两个不为零的有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，若其中一个数为零，则积为零。 在有多项运算时，要先化简再进行计算，有理数乘方时要注意底数是负时要先确定好幂的符号，再进行运算。 3. 有理数的混合运算： 本章重点是有理数的混合运算，难点是提高运算的速度、准确率，关键是正确地运用各种法则，同时掌握运算顺序，并能适当地利用运算定律简化运算。 （1）有理数混合运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 同级运算，按照从左至右的顺序进行； 如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的。 （2）运算律： 加法交换律： 加法结合律： 乘法交换律： 乘法结合律： 分配律：典型例题 例1. 计算： 分析：本题如果按照从左到右的顺序运算是很费时费力的，如果我们能够根据有理数加法运算律进行计算，就方便多了。运用运算律，先要找出各个加数之间的内在规律，灵活运用，最后归结为求异号两数和。 解：原式 例2. 有理数a、b在数轴上的位置如图所示： 试比较的大小，并用“”号把它们连接起来。 分析：由相反数和绝对值的定义，可在数轴上把表示出来，利用数轴就可以比较它们的大小了。 解： 由数轴可知： 例3. 已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x的绝对值是2，求代数式的值。 分析：因为a、b互为相反数，所以 又因为m、n互为倒数，所以 把代入原式，可求出原式的值。 解：a、b互为相反数， m、n互为倒数， 例4. 计算： 分析：按运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减。此题要先算出分子与分母的值，对于分母应先算绝对值符号里面的运算。 解：原式 例5. 将按从小到大的顺序排列起来。 分析：比较这三个负数的大小，应先比较它们绝对值的大小。观察可知、三个分数的分子均比分母小1，可先比较它们的倒数的大小。 解： 例6. 已知a、b、c均为整数，且，求的值。 分析：a、b、c均为整数 与都是整数 与都是非负整数 又 有两种可能： （1）若，则 （2）若，则 因此，此题应分两种情况讨论。 解：根据题意，知： （1）若，则 ，即，且 （2）若，则 ，且 例7. 小强在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数a，加“”键，再输入数b，得到运算 （1）求的值； （2）小华运用这个程序时，屏幕显示：“该操作无法进行”，你猜小华输入数据时，可能出现什么情况？为什么？ 分析：本题第（1）小题是一种新定义运算，应根据进行运算；第（2）问应分类进行讨论。 解：（1） （2）有两种可能：第一种可能是输入了，因为0没有倒数，所以电脑无法操作；第二种可能是输入的a、b两数值相等，因为，0不能作除数，所以电脑也无法操作。 例8. （1）新疆是我国面积最大的省区，其总面积约占我国国土面积的，我国国土面积约960万平方千米，用科学记数法表示新疆的面积为_平方千米。 （2）地球离太阳约有一亿五千万千米，光的速度大约是300000000米/秒，求太阳光到达地面需要多长时间？ 分析：（1）计算960万，并将乘积转化为科学记数法的形式；（2）先将一亿五千万千米用具体的数表示，然后利用公式：，就可求出太阳光到达地面所需要的时间。 解：（1）（平方千米） （2）一亿五千万千米等于150000000千米，等于150000000000米。 光到达地面的时间为：（秒），即500（秒） 太阳光到达地面需500秒 例9. 近似数0.5600的有效数字的个数和精确度分别是（ ） A. 两个，精确到万分位 B. 四个，精确到十万分位 C. 四个，精确到万分位 D. 四个，精确到千分位 分析：因为近似数0.5600从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位上，所有的数字包括5，6，0，0共四个数字，所以0.5600的有效数字的个数是4，精确到万分位。 解：选择C 例10. 比较下面四个算式结果的大小（在横线上选填“”、“”或“”） 通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论_。 解： 通过以上观察和计算可得出结论： 如果a、b是两个有理数，则有。单元试题一. 填空题。 1. 计算： 2. 中底数是_，指数是_，运算结果是_。 3. 在数轴上到表示2的点的距离为4的点的数是_。 4. 非负整数与正整数的区别是非负整数包括_，而正整数不包括_。 5. 计算_。 6. 下表是我国四个城市某一月份的平均气温，把它们按从高到低的顺序排列：_。北京长沙哈尔滨南京3.82.4 7. 一个数的相反数是它本身，这个数是_；一个数的倒数是它本身，这个数是_。 8. 的倒数与的倒数的和的相反数是_。 9. 如果，则_。 10. 从1999年11月1日起，全国储蓄存款需征收利息税，利息税的税率是20%（即储蓄利息的20%，由各银行储蓄点代扣代收），张老师于1999年5月1日在银行存入人民币2万元，定期一年，年利息为3.78%，存款到期时，张老师净得本金和利息共计_元。二. 选择题。 11. 下列说法正确的是（ ） A. 零除任何数得零 B. 绝对值相等的两个数相等 C. 几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定 D. 两个数互为倒数，则它们的相同次幂仍为倒数 12. 下列说法正确的是（ ） A. 绝对值等于它本身的有理数只有0 B. 倒数等于它本身的有理数只有1 C. 平方等于本身的有理数为0和1 D. 相反数等于它本身的有理数只有0 13. 对于近似数0.1830，下列说法正确的是（ ） A. 有两个有效数字，精确到千位 B. 有三个有效数字，精确到千分位 C. 有四个有效数字，精确到万分位 D. 有五个有效数字，精确到万分位 14. 北京市申办2008年奥运会，得到了全国人民的热情支持。据统计，某一日北京申奥网站的访问人次为201947，用四舍五入法保留两个有效数字的近似值是（ ） A. B. C. D. 15. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 16. 下列各组运算中，运算后结果相等的是（ ） A. 和B. 和 C. 和D. 和 17. 近似数1.20所表示的准确数a的范围是（ ） A. B. C. D. 18. 下列叙述中：正数与它的绝对值互为相反数；非负数与它的绝对值的差为0；的立方与它的平方互为相反数；1的倒数与它的平方相等。其中正确的个数有（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 19. 我国股市交易中每买、卖一次需交千分之七点五的各种费用。某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际盈利为（ ） A. 2000元B. 1925元C. 1835元D. 1910元 20. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 三. 解答题。 21. 计算下列各题。 （1） （2） （3） （