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1 12.3 函数的奇偶性与周期性一、选择题1设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时,f(x)2x2xb(b为常数),则f(1)等于()A3 B1 C1 D3解析由f(0)f(0),即f(0)0.则b1,f(x)2x2x1,f(1)f(1)3.答案D2已知定义在R上的奇函数,f(x)满足f(x2)f(x),则f(6)的值为 ()A1 B0 C1 D2解析(构造法)构造函数f(x)sin x,则有f(x2)sinsin xf(x),所以f(x)sin x是一个满足条件的函数,所以f(6)sin 30,故选B.答案B【点评】 根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数,是解答抽象函数选择题的常用方法,充分体现了由抽象到具体的思维方法.3已知函数yf(x)是定义在R上的任意不恒为零的函数,则下列判断:f(|x|)为偶函数;f(x)f(x)为非奇非偶函数;f(x)f(x)为奇函数;f(x)2为偶函数其中正确判断的个数有()A1个 B2个 C3个 D4个解析 对于,用x代替x,得f(|x|)f(|x|),所以正确;对于,用x代替x,得f(x)f(x)f(x)f(x),所以错误;对于,用x代替x,得f(x)f(x)f(x)f(x),所以正确;易知错误答案B4已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数,当x0,1)时,f(x)4x1,则f(5.5)的值为()A2 B1 C D1解析 f(5.5)f(5.56)f(0.5)40.511.答案D5.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,如图表示该函数在区间(2,1上的图像,则f(2 011)f(2 012)()A3 B2C1 D0解析:由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数,所以f(2 011)f(2 012)f(67031)f(67131)f(1)f(1),而由图像可知f(1)1,f(1)2,所以f(2 011)f(2 012)123.答案:A6设偶函数f(x)对任意xR,都有f(x3),且当x3,2时,f(x)4x,则f(107.5)()A10 B. C10 D解析 由f(x6)f(x)知该函数为周期函数,周期为6,所以f(107.5)ff,又f(x)为偶函数,则ff.答案:B7 已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)f(x1),则f(2009)f(20xx)的值为()A1 B1C0 D无法计算解析 由题意得g(x)f(x1),又因为f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,所以g(x)g(x),f(x)f(x),f(x1)f(x1),f(x)f(x2),f(x)f(x4),f(x)的周期为4,f(2009)f(1),f(20xx)f(3)f(1),又f(1)f(1)g(0)0,f(2009)f(20xx)0.来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net答案:C二、填空题8若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)1,f(2)2,则f(3)f(4)_.解析f(x5)f(x)且f(x)f(x),f(3)f(35)f(2)f(2)2,f(4)f(1)f(1)1,故f(3)f(4)(2)(1)1.答案19设奇函数f(x)的定义域为5,5,当x0,5时,函数yf(x)的图象如图所示,则使函数值y0的x的取值集合为_解析由原函数是奇函数,所以yf(x)在5,5上的图象关于坐标原点对称,由yf(x)在0,5上的图象,得它在5,0上的图象,如图所示由图象知,使函数值y0的x的取值集合为(2,0)(2,5)答案(2,0)(2,5)10 设f(x)是偶函数,且当x0时是单调函数,则满足f(2x)f的所有x之和为_解析 f(x)是偶函数,f(2x)f,f(|2x|)f,又f(x)在(0,)上为单调函数,|2x|,即2x或2x,来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net整理得2x27x10或2x29x10,设方程2x27x10的两根为x1,x2,方程2x29x10的两根为x3,x4.则(x1x2)(x3x4)8.答案 811已知函数f(x)满足:f(1),4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x,yR),则f(2 013)_.解析法一当x1,y0时,f(0);当x1,y1时,f(2);当x2,y1时,f(3);当x2,y2时,f(4);当x3,y2时,f(5);当x3,y3时,f(6);当x4,y3时,f(7);当x4,y4时,f(8);.f(x)是以6为周期的函数,来源:www.shulihua.netf(2 013)f(33356)f(3).来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net法二f(1),4f(x)f(y)f(xy)f(xy),构造符合题意的函数f(x)cos x,f(2 013)cos.答案12设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR恒有f(x1)f(x1),已知当x0,1时f(x)1x,则2是函数f(x)的周期;函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;函数f(x)的最大值是1,最小值是0;当x(3,4)时,f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net解析由已知条件:f(x2)f(x),则yf(x)是以2为周期的周期函数,正确;当1x0时0x1,f(x)f(x)1x,函数yf(x)的图象如图所示:来源:www.shulihua.net当3x4时,1x40,f(x)f(x4)x3,因此正确不正确答案三、解答题13对任意实数x,给定区间(kZ),设函数f(x)表示实数x与x的给定区间内整数之差的绝对值(1)当x时,求出函数f(x)的解析式;(2)当x(kZ)时,写出用绝对值符号表示的f(x)的解析式,并说明理由;来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net(3)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论解析 (1)当x时,0为给定区间内的整数,故由定义知,f(x)|x|,x.(2)当x(kZ)时,k为给定区间内的整数,故f(x)|xk|,x(kZ)(3)对任意xR,函数f(x)都存在,且存在kZ,满足kxk,f(x)|xk|,由kxk,得kxk,此时k是区间内的整数,因此f(x)|x(k)|xk|xk|f(x),即函数f(x)为偶函数14已知函数f(x)对任意x,yR,都有f(xy)f(x)f(y),且x0时,f(x)0,f(1)2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值(1)证明令xy0,知f(0)0;再令yx,则f(0)f(x)f(x)0,所以f(x)为奇函数(2)解任取x1x2,则x2x10,所以f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0,所以f(x)为减函数而f(3)f(21)f(2)f(1)3f(1)6,f(3)f(3)6.所以f(x)maxf(3)6,f(x)minf(3)6.15.已知函数f(x)是(,)上的奇函数,且f(x)的图象关于x1对称,当x0,1时,f(x)2x1,(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x1,2时,求f(x)的解析式;来源:www.shulihua.net(3)计算f(0)f(1)f(2)f(20xx)的值解析 (1)证明函数f(x)为奇函数,则f(x)f(x),函数f(x)的图象关于x1对称,则f(2x)f(x)f(x),所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数(2) 当x1,2时,2x0,1,又f(x)的图象关于x1对称,则f(x)f(2x)22x1,x1,2(3) f(0)0,f(1)1,f(2)0,f(3)f(1)f(1)1又f(x)是以4为周期的周期函数f(0)f(1)f(2)f(20xx)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1.16.
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