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第三章 导数与微分1. 判断题(对的打“”,错的打“”)(1) 是在点可导的充分条件. ( )答:打“”.这是因为函数在点处连续是在点处可导的必要条件,非充分条件. (2) 若在点可导,则必有. ( )答:打“”.这是因为在点可导,则必有.(3) 若,则必有. ( )答:打“”.这是因为 (4) 若,则必有. ( )答:打“”.这是因为(5) 若在点可导,则必有. ( )答:打“”.这是因为在点可导的必要条件是在点处连续,即.(6) 若,则有. ( )答:打“”.这是因为,如果令,则有,又因,所以,即. (7) 若,则有. ( )答:打“”.这是因为,由复合函数求导法则可知.(8) 若对任意的,恒有,且,则. ( )答:打“”.这是因为由已知条件,对任意的,即为偶函数,则,有.(9) 若是以为周期的可导函数,则有. ( )答:打“”.这是因为,如果,则求导得到.(10) 若可微,则必有. ( )答:打“”.这是因为,且,所以.(11) 若在点可导,则当很小时,. ( )答:打“”.这是因为,根据极限与无穷小量的关系有,因此.2. 选择题:(1) 设可导,则( ). A. B. C. D. 答:C. 因为 (2) 下列函数中,在点可导的是( ).A. B. C. D. 答:A. 因为在点处连续,且,所以在处可导. 而B在处连续,但不可导,C、D在处不连续,因此不可导.(3) 函数在点处是( ). A连续且可导 B. 不连续也不可导 C. 不连续但可导 D. 连续但不可导答:D. 因为,在处有,且,所以函数在处连续. 但,因此,函数在不可导.(4) 设在点的某邻域内有定义,则在点可导的一个充分条件是( ).A存在 B存在C. 存在 D. 存在 答:A. 因为(5) 设周期函数在内可导,周期为4,又,则由曲线在点处的切线斜率为( ). A B. C. D. 0答:B. 由题设知,有,因此. 又因为即. 根据导数的几何意义,曲线过点处的切线斜率.(6) 当( )时,曲线与相切(有公共切线). A. B. 2 C. D. 答:C. 两曲线若有公共切线,则应有公共切点及切线斜率相等. 设曲线的切线斜率为,曲线的切线斜率为,用代入法验证.若,则,有. 此时曲线过点,曲线过点,两曲线无公共切点.若,则,有. 此时曲线过点,曲线过点,两曲线无公共切点.若,则,有. 此时曲线过点,曲线过点,两曲线有公共切点,故选C.(7) 下列点( )是曲线上切线平行于轴的点. A. B. C. D. 答:C. 由导数的几何意义知,得. 当时,;当时,. 因此选C.(8) 设函数在处可导,则常数、是( ). A. B. C. D. 答: D. 因为在处可导,必在连续,所以,则.又因为,则,即,选D.注:关于分段函数在分段点处的导数,可用两种方法计算:i) 用导数定义,且,则.ii) 用导函数在处的左(右)极限代替左(右)导数,即,.(9) 设,则( ).A. B. C. D. 答:D. 因为,令,则,即,故. (10) 设,则( ).A. B. C. D. 答:B. 因为是自变量为的复合函数,令,有(11) 设函数对任何满足,且,其中、为非零常数,则在处( ).A. 不可导 B. 可导,且 C. 可导,且 D. 可导,且答:D. 令,则,即. 所以,.(12) 已知为连续可导函数的奇函数,且满足条件,则曲线在点处的切线斜率为( ). A. 2 B. C. 4 D.答:D. 因为,所以,又因为奇函数,所以,即为偶函数. ,在点的法线斜率.(13) 设在处( ). A. 极限不存在 B. 极限存在,但不连续 C. 连续,但不可导 D. 可导答:C. 因为处,且, 所以在处连续. 但不存在. 在处不可导.3 填空题:(1) 若在点可导,则 .解析:由导数定义可知,.(2) 在点连续是在点可导的 必要 条件.解析:利用可导与连续的关系.(3) 若,则 .解析:由,所以.(4) 若,则 1 .解析:.(5) 已知,则 .解析:由,因此.(6) 若,且,则 , .解析:. .(7) 设由曲线在点处的切线与轴的交点为,则 .解析:因为在点处的斜率为,所以过点的切线方程为又因为切线与轴的交点为,即解得,所以,. (8) 若,则 , .解析:.(9) 若,则 .解析:令,则,所以,即.(10) 曲线在点处的法线方程是 .解析:利用隐函数求导法得,所以过点 切线斜率,相应点的法线斜率,因此法线方程为,即.(11) 若函数在处的改变量,则 .解析:有微分定义,等于的线性主部.(12) 方程确定了是的函数,则 .解析:方程的右端为幂指函数,两边取自然对数得:,两边对求导,则,.(13) 若,则 .解析:方程两边对求导, (1) (2)(1) 式两边再对求导, ,将(2)式代入得,. (14) 若,其中二阶可导,则 .解析:,.4. 用导数定义求导数(1) ,求.解:.(2) 已知(),求.解: .(3) ,求.解:.(4) ,求.解: .(5) ,求.解: .(6) ,求.解:法一,用导数定义.,所以,.法二:当时,则.当时,则.因此,.5. 分别求出满足下列条件的的取值(1) 曲线与的切线平行.解:由导数的几何意义知,或.(2) 曲线的切线平行于轴.解:由导数几何意义及平行于轴的直线斜率为零得,故.(3) 曲线的切线平行于直线.解:曲线的切线与直线平行,斜率相等,故.6. 设曲线与在点相切,求、的值.解:由题意可知曲线与有公共切线,且、均过点,则,求得.7. 确定常数、,使函数处处可导.解:因为在处可导,所以,即,.又因为处处可导,所以在处一定连续,即,有,.8. 用求导公式和法则求下列函数的导数.(1) 解:先化简再求导,原式,.(2) .解:.(3) .解:.(4) .解:,.(5) .解:.(6) .解:.(7) .解:.(8) .解: .(9) .解:.(10) .解:.(11) .解:,.(12) .解:先化简,因此.9. 求下列函数的导数.(1) .解:.(2) .解: .(3) .解:.(4) .解: .(5) .解:先化简再求导,.(6) .解:.(7) .解:.(8) .解:.(9) .解:.(10) .解: .(11) .解:.(12) .解:.(13) .解:.(14) .解:.(15) .解:.(16) .解:先化简再求导,.10. 求下列函数的导数.(1) .解:两边对求导,.(2) .解:两边对求导,.(3) .解:两边对求导,.(4) .解:两边对求导,得.(5) .解:两边取自然对数,两边对求导,即,.(6) .解:两边对求导,即.(7) .解:两边取自然对数得,两边对求导,即.(8) .解:两边取自然对数得,两边对求导,.(9) .解:两边取自然对数得,两边对求导,.(10) .解:两边取自然对数得,两边对求导, ,.(11) .解:两边取自然对数得,两边对求导,即 .(12) .解:两边取自然对数得,两边对求导, (13) .解:.(14) .解:设、,则,两边取自然对数,两边对求导,.同理,、.所以, 11. 设是由方程在点附近所确定的隐函数,求在点处的法线方程.解:方程两边对求导,有导数几何意义知,所以法线方程为.12. 求下列函数的导数.(1) .解: .(2) .解:.(3) .解:.(4) 已知,.解:由,令,则,所以.(5) ,其中可导.解:.(6) 已知,.解:由已知可得,对求导, .13. 讨论函数在点处是否连续?是否可导?解:因为,且. 所以在处连续.又因为,所以在处可导.14. 分别求出函数在点处:(1) (2) (3) 时的改变量和微分对上述结果加以比较,能得出什么结论?解:(1) 在,时, (2) 在,时,(3) 当,时,. 由以上可看出越小,二者之差越小.15. 求下列函数的微分.(1) .解:.(2) .解:.(3) .解:两边微分,.(4) .解:两边微分,.(5) .解:两边微分,.(6) .解:两边微分,.(7) ,其中可微.解:=. 16. 利用微分作近似计算. (1) .解:,令,则.(2) .解:,令,则.(3) .解: (利用)(4) .解:,令,则.(5) .解:,令,则. 17. 证明:当很小时,下列各近似公式成立.(1) 证明:令,则.(2) 证明:令,则 .(3) .证明:令,则 .(4) .证明: (很小时),令,则 .18. 求下列函数的高阶导数.(1) ,求.解:,.(2) ,求.解:,.(3) ,求.解:两边对求导,再对求导,.(4) ,求.解:, .(5) ,求.解:,.(6) ,求.解:,.(7) ,求.解:,.(8) ,求.解:,.(9) ,求.解:,.(10) .解: . 1
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