第3章 流体运动的基本方程组3.1 写出下列各量的数学表达式：（1）单位时间内以n为法向的面积元dA上的流体体积流量；（2）时间内经固定不动空间的表面S净流入的质量；（3）流体体积内的动量、动能的随体导数。解（1）设流速为V，单位时间令为“1”，则解为：（2）设流体密度为，为其单位法向量，流速为，则解为：（3）动量的随体导数：动能的随体导数：（解完）3.2 写出下列情况的连续性方程：(a) yz平面上稳定可压缩性流体。(b) 在xz平面上不稳定、不可压缩流体。(c) 仅在y方向上不稳定的可压缩流体。(d) 在平面极坐标上的稳定、可压缩流体。解 (a) yz平面上稳定可压缩性流体：(b) 在xz平面上不稳定、不可压缩流体：(c) 仅在y方向上不稳定的可压缩流体：(d) 在平面极坐标上的稳定、可压缩流体。（解完）3.3 一不可压流场为，式中的K与C均为定值。试由连续性方程导出速度分量。解 由连续性方程：（解完）3.4 一不可压流场具有如下的圆柱坐标分量：，式中C与K为常数，且，。此流动满足连续方程吗？物理上，此流场代表什么？解 由连续性方程： 故此速度分布满足连续性方程。此流场可能是一圆柱中之流体，由于圆柱底盘转动所带动的粘性流。（解完）3.5 在流体中取一任意形状的控制体，由此求连续性方程。解 取一任意形状控制体（流场中），其体积为，表面积为，密度为，左方流入流体质量，右方流出流体质量，净流量为据质量守恒有：，即（解完）3.6 流体作有自由面的三维波动，底面为平面且流体等深，波动幅度小，求连续性方程。解 取一控制体（如上图）：方向：左端流入，右端流出，净流量方向：同理有：净流量控制体内质量变化为： 据质量守恒： 约去，且为常量，整理得： （解完）xOy3.7 某一二维近壁剪切流如图示。速度分量为：而为一常数，试由连续性导出速度分量，假设，近壁处。解 由于，（解完）3.8 若z轴向上，速度场，为上不可压流动的连续性方程和NS方程的精确解，则常数，有何条件。解 将，代入：，故满足连续性方程。代入NS方程：，同理：，（静水压强），故其满足NS方程。因此，为任意数均可同时满足连续性方程和NS方程。（解完）3.9 证明：图中两平板间的Couette流动（，）为不可压流动的NS方程式之解，并求出流体中唯一的非零剪应力。解 NS方程式：代入：，得：（忽略重力）因此，若流场内无压力变人，则流动合于NS方程。并且，唯一的剪力为：（解完）U3.10流体在两平板间入口处速度为均匀，cm/sec，继续下流后，发展成为抛物线形状的层流运动，速度分布为，是一个常数。若1cm，且流体为甘油，在20C稳定流动情况下，求，以cm/sec表示。解 cm/sec（解完）3.11 在平板中之完全发展的层流，与习题3.10相同，其速度分布为， 为NS方程之恰当解，不计重力。计算压力分布及剪应力之分布，利用，为参数。为何最大剪应力产生于板壁，为何密度不出现在参数中？解 ，代入动量方程式：故常数（线性分布）因为加速度为0，故与密度无关。（解完）3.12 对于在极坐标中的不可压缩流体，由NS方程求出一旋转流，的通式。流体在两固定的同心圆柱中没有滑动。解 假设，不考虑压力梯度与重力，代入NS方程式中有：边界条件：；解得：故。（解完）3.13 一固定厚度的薄膜粘性液体以层流的方式流下一夹解为q的平板，如图示。速度分布为：，求常数C以比重、粘滞系数、及角度q表出，并求出每单位宽的体积流量Q以r、m、q表出。解 最后得：（每单位宽度）（解完）3.14 一个无穷宽平板，置于静止的粘性流体中，平板在正弦波形做往复运动。如图示，在远离平板的流体为静止。试做出简化的假设，建立一微分方程式及边界条件，以求出流体的速度场u。（不必解出）解 因板子为非常长且非常宽，故：，代入动量方程式中： 平板速度不可压缩粘性流体（1）边界条件：当时， 当时，0已知：可设一变量，令于是：（4）满足：边界条件： 复速度(4)式+(1)i：（5）故：，即U为W的虚部。由及边界条件得：边界条件：；（6）将（6）式分别微分后，代入（5）：其解为：进一步化简：，由边界条件得知：（7a）（7b）（7a）代入（6）得：（7b）代入（6）得： 0，故 （8）（8）代入（6）：已知：（解完）3.15 如图示，两平板间的层流速度分布为：，yy=0y=hTWTWu(y)T(y)x若两壁面间的温度均为，试采用不可压流 动的能量方程式解两板间的温度分布。解 ，（设）其中，由 ，又 。（解完）3.16 重做习题3.15的分析。若下板的温度为 ，上板的温度为，二者皆为常数。解 由题3.15知：由边界条件：故（解完）第4章 流体的积分关系式及其应用4.1 如图所示，两蓄水池由三根铸铁管串联起来，L1600m，L2900 m，L31500m，d10.3m，d20.4m，d30.45m。当水温为15C时，体积流量为0.11 m3/s。求两蓄水池液面之高度差。 解 根据截面积扩大比查书中附表，由公式 小大=12= 23= 1=3=1.0 这些局部损失均按下游管流速计算。 各段流速 v1= =1.5562m/s v2=0.8754m/s v3=0.6916m/s 流态判别， 15C水的运动粘度=1.1410-6m2/s Re1=，属于湍流 Re2=，属于湍流 Re3=，属于湍流 按/d=0查莫迪图得 1=0.012，2=0.013，2=0.014 局部损失 hj1=0.1236m hj12=0.02365m hj23= =0.0017m hj3= =0.0244m hj=hj1+ hj12+ hj23+hj3=0.1236+0.02365+0.0017+0.0244=0.17m 沿程损失 hf1= =2.9654m hf2=1.1436m hf3= =1.1388m hf=hf1+ hf2+hf3=2.9654+1.1436+1.1388=5.25m hw= hf+hj=5.25+0.17=5.42m 列伯努力方程 H=hw=5.42m （解完）4.2 如图所示，给水泵的吸水管长L15m，直径d150 mm，已知进水阀的损失系数10.6，弯头损失系数21.2，流量Q16L/s，h1m。若水的运动粘性系数0.01cm2/s，管子的绝对粗糙度0.2mm，求水泵吸入处的真空度。 解 管内流速 v=0.9054m/s 雷诺数Re=2300，属于湍流 按/d=0.2/150=0.0013查莫迪图得 =0.022 =0.0335m =0.092m hw= hf+hj=0.0335+0.092=0.13m 以液面为基准列液面到泵入口处的伯努力方程 =-4.081040.4105 即泵入口处的真空度为0.4大气压 (解完)4.4 一宽顶堰如所示，如果忽略来流速度和假定2 处的压强按静压分布，使证明当堰宽为L时的理论流量为： 4.4 题图Hyy221并证明时，有最大值。证 取1、2点考虑，运用伯努利积分 （1）假定对于1，压强按静压分布（其位于上游无限远处）。 （2）对于2 ，由题设所给条件亦有 （3）且 （4）代入（1）式有 又面积 理论流量为： 对关于求导得 当取最大值， 有得 即 时，有最大值。（解完）4.5 另有一种测量流量的仪器称为流量嘴，使用时将它插入管道中如4.5题图所示，如果A2 是流量嘴的出口面积，试证对不可压缩流体的流量为4.5题图Hgh12A2其中为流量系数，它考虑摩擦效应并由实验确定。解：取流量嘴截面为2，如图，取1，运用伯努利积分有 对于1，2两点，作近似计算， 有由连续性方程有故流量同时考虑摩擦效应，为流量系数有（解完）4.8 如图所示，摩托艇在河中以9m/s的速度(相对岸边)逆流而上。河中水流速度为6.5m/s。该艇用的喷水推进装置由船首进水，船尾排水。若射流相对艇的速度为18m/s，流量力0.15m3/s。问产生的推力为多大? 解 将坐标系固联于艇上，河水相对艇的流速即为入口速度， v=9+6.5=15.5m/s 出口速度为V=18m/s 动量增量 Q(V- v)即为推力F的大小 即F=Q(V- v)=98000.15(18-15.5)=3675 N （解完）4.10 鱼雷在水下5m深处以50 km/h的速度运动，据相对性原理，可认为鱼雷不动，流体从无穷远处以流速50 k m/h流过鱼雷。求：(1)若流体流过鱼雷表面时，其最大速度为无穷远处速度 的1.5倍(如图所示的A点处)，求鱼雷A点处的压力。 (2)设水温为15C，产生空泡的压力为2.33kN/m2，求鱼雷产生空泡时的速度。 解 (1) 该流场为无旋场，就无穷远处和A点列出拉格朗日积 分方程 水下5m深处的静压力 p=h=98005=49000Pa v=50 km/h=13.89m/s，=192.9(m/s)2拉格朗日积分方程得 由此得=490001-1.52+1000192.9/2=-71562.5 Pa 绝对压力pAab=pA+pa=-71562.5+101300=29737