第三章 证明（三）1平行四边形（三）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在八年级（上）已经对平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这些特殊四边形的性质和判定进行了大量探索，在探索的同时，也经历了推理过程，具备了一定的推理能力。八年级（下）最后一章和九年级（上）第一章，又学习了证明，已经能够对前面探索过的一些图形性质进行严格的证明，具备了证明三角形中位线定理的基本技能；学生活动经验基础：在证明（一）、证明（二）的学习过程中，对于一个以前没有探索过的命题，学生已经经历了“探索发现猜想证明”的过程，体会到合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用，获得了证明一个新命题所必须的一些数学活动经验的基础；同时在前面的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析教科书提出了本节课的具体学习任务：理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题。但这仅仅是这堂课外显的具体的教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标。通过本课的学习，学生进一步经历“探索发现猜想证明”的过程，发展推理论证的能力，积累自己的数学活动经验。为此，本节课的教学目标是： 理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题； 进一步经历“探索发现猜想证明”的过程，发展推理论证的能力； 在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力； 在证明过程中体会所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境；第二环节：提出问题；第三环节：猜想结论；第四环节：验证明确结论；第五环节：运用巩固；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业。第一环节：创设情境A .B.MCN活动内容：提出问题：如图：A、B两地被池塘隔开，现要测量出AB两地的距离，给你的工具只有皮尺，你能想办法测量出来吗？小明是这样做的：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，再测出MN的长，由此他就知道了AB间的距离。你知道他是怎么算的吗？你能设法验证吗活动目的：根据我校学生的学习基础和实际学习水平，我认为教材中创设的问题情境难度较大，学生不容易突破，可能会在此耽误时间，影响了后面定理的探索。因此我设置了这个问题情境，一方面贴近学生的生活，帮助学生复习串连了旧知识，另一方面通过对所提问题的思考和解决，自然而然地引出三角形中位线的概念，过渡到本节课的学习内容上。通过活动，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。由于学生在前面已经学习过利用三角形全等测距离，所以这道题学生不难解决，这样既复习了旧知识，同时也给学生提供了不同的解决问题方案。活动，通过对所提问题的思考和解决，引出三角形中位线的概念，指向本节课的学习内容。活动的实际效果：部分学生能够联系全等三角形的知识构造出图形，确定出测量方案，教师给予总结鼓励，提出问题。对于问题，学习程度较好的同学能够运用相似三角形的知识给予解释，对于这两个问题的思考，调动了学生的学习热情，激发了学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。第二环节：提出问题活动内容： 教师指出上题中的线段MN叫做ABC的中位线，请同学们尝试定义什么叫做三角形的中位线？并在练习本上画出ABC的一条中位线DE； 学生思考：三角形有几条中位线？三角形的中位线与中线有什么区别？ 猜想三角形的中位线与第三边有怎样的关系？。活动目的：活动承接上面的问题自然引出，通过学生尝试定义，动手画图促使学生理解掌握三角形的中位线概念。活动的目的既为后面的练习埋下伏笔，又对学生进行学法指导，引导学生通过抓住概念间的区别和联系来掌握概念。活动将问题直接指向本节课的研究重点三角形中位线定理的探索与证明。活动实际效果：通过学生自己尝试定义三角形的中位线以及对比三角形的中线定义，学生能够抓住三角形的中位线是两个中点这一本质特征，对于这一概念掌握得非常牢固。第三环节：猜想结论活动内容：学生基于个人不同的学习水平和学习能力，通过不同的方法给出猜想活动目的：问题的提出激发了学生的探索热情，由于学生的学习水平和学习能力不同，教师放手给学生后，学生的方法各异，教师通过巡视，掌握信息，给予指导。活动实际效果：有的学生是基于相似三角形的知识给予合情推理得出的，有的学生是动手测量猜想结论的，但多数学生能够猜想出数量上的关系，而忽略了位置上的关系，教师可加以适当地提示点拨。第四环节：验证明确结论活动内容： 引导学生把刚才的猜想转化成数学符号语言，写出已知、求证。 学生小组合作尝试证明，教师巡视指导，给予适当引导、启发（教师可以通过这些问题启发学生：问题1证明直线平行的方法有哪些？启发学生联想由角的相等或互补得出平行、由平行四边形得出平行等。问题2证明线段的倍分的方法有那些？启发学生将较长的线段分割，或将较短的线段补长）。 学习小组间互相交流不同的证明方法，彼此开拓思路，同时选取最优方法，个人独立写出证明过程。 明确结论，教师板书三角形中位线定理活动目的：这一环节采用小组合作学习方式，由于这个结论的证明思路和方法对学生来说有一定的难度，学生通过合作学习，彼此互相启发，共同研究，能够自己解决这一问题。对于学生思考未果的小组，教师可以通过上面的问题引导启发学生找到证明思路。通过小组间的交流，能让学生了解不同的证明方法，开阔思路，在听取他人意见的同时，优化自己的证明方法。这些方法充分发挥了学生主动学习、合作学习和探究性学习的功能，培养了学生探究问题的能力。B CADE 活动实际效果：在教师的适当点播下，学生思维活跃，得到多种证明方法。大致总结出2种方法。附：学生的证明方法已知：如图，DE是ABC的 中位线求证：DEBC，DEBCB CADE F证法一：延长DE至F，使EFDE，连接CFAECE，AEDCEF，ADECFEADCF，ADEFBDCFADBDBDCF四边形BCFD是平行四边形DFBC，DFBCDEBC，DEBCB CADE F证法二：过C点作CFAB交DE的延长线于F CFABADEFAEDCEF，AEECADECFEADCFADBDBDCF四边形BCFD是平行四边形DFBC，DFBCDEBC，DEBC第五环节：运用巩固活动内容：已知三角形三边长分别为6，8，10，顺次连结各边中点所得的三角形周长是多少？如果ABC的三边的长分别为a、b、c，那么DGE的周长是多少？你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?任意做一个四边形,并将其四边的中点依次连接起来,得到一个新的四边形.这个新四边形的形状有什么特征?请证明你的结论问题变式：四边形ABCD是平行四边形时, 四边形EFGH是什么特殊图形四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是什么特殊图形四边形ABCD是菱形时，四边形EFGH是什么特殊图形活动目的：对三角形中位线定理进行巩固，同时灵活应用三角形中位线定理解决其他问题。实际效果：学生基本都能应用三角形中位线定理解决问题，收到了较好的教学效果。问题由于在前面做了铺垫，学生能够画出一个三角形的三条中位线，因此解决起来也相对顺利。问题回应前面定理的探索过程，进一步经历“探索发现猜想证明”的探究过程，同时进一步训练学生严谨的逻辑证明能力。问题面向程度较好的学生，进一步深化思路，只要抓住特殊四边形的性质就能顺利地解决问题。第六环节：课堂小结活动内容：师生互相交流总结本节课学习的知识。活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习过程，体会“探索发现猜想证明”这样的科学探究过程，通过回顾本节课辅助线的添加，进一步丰富自己的解题经验，提高解题能力和一题多解的能力。第七环节：布置作业教科书85页 习题3.3 1.2.3.4四、教学反思1、 要创造性的使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。教材中创设的问题情境个人感觉难度较大，学生不容易突破，可能会在此耽误时间，影响了后面定理的探索。因此我设置了另外的问题情境，一方面复习串连了旧知识，另一方面通过对所提问题的思考和解决，自然而然地引出三角形中位线的概念，过渡到本节课的学习内容上。2、小组合作学习，更能发挥学生的主体地位通过小组合作探索定理的证明过程，为学生提供展示自己的机会，并且在此过程中更有利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。3、注意改进的方面在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。在小组合作学习中不能让好学生包办一切，学习基础较弱的学生只充当听众。教师应通过巡视及时发现小组合作学习中出现的问题和遇到的困难，及时给予适当的指导，使小组合作学习更具实效性。