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华师大版八年级下相似三角形复习练习一、【方法指导与教材延伸】1在数学上,把具有 形状的图形称为相似形。2在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做 ,简称 。3.已知四条线段a、b、c、d,如果abcd,那么a、b、c、d叫做组成比例的 ,线段a、d叫做比例 ,线段b、c叫做比例 ,线段d叫做a、b、c的 。 比例中项:如果比例内项是两条相同的线段,即 ,那么线段b叫做线段a和c的比例中项。4. 比例的性质:abcd ;abbc 5两个相似形的特征:对应边成比例,对应角相等;6识别两个多边形是否相似的方法:如果两个多边形 ,那么这两个多边形相似 7相似三角形: 定义: 的三角形叫相似三角形。如ABC与A/B/C/相似,记作: 。 相似比:相似三角形 的比叫相似比,若ABCA/B/C/,相似比为k,则A/B/C/与ABC的相似比是 。即相似比是有顺序的。8相似三角形的识别方法: (1)定义法: 的两个三角形相似。(2)平行线法: 的直线和其它两边(或两边的延长线) ,所构成的三角形与原三角形相似。注意:适用此方法的基本图形,(简记为A型,X型) EDBC,ABCAED(3) 的两个三角形相似。(4) 的两个三角形相似。(5) 的两个三角形相似。(6) 对应成比例的两个直角三角形相似。(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。3相似三角形的识别方法的选择:(1)已知有一角相等时,可选择方法 和方法 ;(2)已知有二边对应成比例时,可选择方法 和方法 ;(3)若有平行条件时,可考虑方法 ;(4)有直角三角形时,可考虑方法 4.相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例 (2)相似三角形对应 的比、对应 的比、对应角 的比都等于相似比 (3)相似三角形 的比等于相似比以上各条可以概括为:相似三角形的对应 之比等于相似比 (4)相似三角形面积之比等于 5相似三角形性质的作用 综合使用相似三角形的性质与相似三角形的识别可以解决以下问题: (1)可用来证明线段成比例、角相等、线段相等、垂直、平行等; (2)可用来计算周长、边长、角度等; (3)用来证明线段的平方比、图形面积的比等。注意:(1)求三角形某边长,可根据相似三角形的性质,得到对应线段成比例,再利用方程的思想方法,解出所求线段 (2)有关三角形或其它图形面积的题目,常用到两个知识点:一、是三角形面积公式:S 底高,这里特别注意图形中“同高”这个隐含条件,二、是相似三角形的面积比等于相似比的平方。3直角三角形中的比例线段是这部分内容的一个重点如图,由RtACDRtCBDRtABC,得AC2ADAB,BC2=BDAB, CD2=ADDB熟记这三个等式有时会给解题带来很大的方便,尤其解几何综合题更明显,但须注意,在使用它们时,一定要证明这三个直角三角形相似二 、例题选讲例1:已知线段a15厘米,b20厘米,c75毫米,d0.1米,问这四条线段成比例吗?说明:在线段求比时,线段的长度单位要统一;要同单位下,两线段的比值是无单位的正数。例2:已知线段a7,b4,求线段ab与ab的比例中项。说明:(1)此处是求线段的比例中项,所以只能取正值,但实际上,比例中项并不一定都是指两条线段,两个数、两个字母同样也可以求出它们的比例中项,并且比例中项也可为负。(2)所以在求比例中项时,一定要看清是求线段的比例中项,还是两个数的比例中项,它们的结果不一样的。例3:已知,且3x4z2y40,求x、y、z的值。说明:设k法是有关比例式计算题中常用的方法,应学会、掌握。例题4:判断正误,并简要说出理由(1)两个矩形一定相似。 ;(2)两个菱形都有一个角是400,那么这两个菱形相似 (3)两个正方形一定相似。 (4)有一个角相等的两个等腰梯形相似。 例题5:如图,E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点,若矩形ABCD与矩形EABF相似,AB1,求矩形ABCD的面积说明:运用相似多边形特征解题,应注意确定对应边、对应角,这里的AB是大矩形的宽,那么它只能中小矩形的长,大矩形宽与长的比等于小矩形宽与长的比。例题6:(1)、如图,DEBC,EFAB,则图中相似形三角形有 对,分别是 。 (2)、如果AD5,DB3,FC2,则ADE与ABC的相似比是 ;如何求出BF的长?例题7:如图,在四边形ABCD中,E是对角线BD上的一点,EFAB,EMCD,求的值。例题8:如图,在ABC中,ADBC,BEAC,则图中有 对相似三角形,当 时,则有;要 ACCECBCD,则应找哪两个三角形相似?解:例题9:如图,在ABC中,ABAC,AD是中线,P是AD上一点,过点C作CFAB,延长BP交AC于点E,交CF于点F,说明:BP2PEPF。解: 说明:当成比例的四条线段在同一直线上时,可用相等的线段代换的方法来分散开来,后再找相似三角形例10如图,在ABC中,DEFGBC,并将ABC分成三块S1、S2、S3,若S1S2S31410,BC15,求DE、FG的长例11如图,在ABC中,D是BC边上的中点,且ADAC,DEBC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F。 (1)说明:ABCFCD (2)若SFCD5,BC10,求DE的长。三 【同步练习】练习一一、判断题: 1所有的三角形都相似; 2所有的梯形都相似; 3所有的等腰三角形都相似; 4所有的直角三角形都相似; 5所有的矩形都相似; 6所有的平行四边形都相似; 7大小的中国地图相似; 8所有的正多边形都相似。二、填空: 1延长线段AB到C,使BCAB,则ACAB ,ABBC ,BCAC 2在比例尺为1500000的地图上,量得甲、乙两地的距离是25,则两地的实际距离是 。3已知点P在线段AB上,且APPB25,则ABPB ,APAB 4如图,已知,AD15,AB40, AC28,则AE 。5已知:线段a3,b2,c4,则b、a、c的第四比例项d ;则a、b、(ab)的第四比例项是 ;3a、(2ab)的比例中项是 。6已知:数3、6,请再写出一个数,使这个数是另外两个数的比例中项,这个数是 。7已知:则 。8已知,且3y2z6,则x 、y 。 9把一个矩形的硬纸片剪去一个正方形,若剩下的矩形与原矩形相似,那么原矩形的长边和短边之比为 。三、判断下列各组线段是否成比例?14、6、8、2; 21.5、4.5、2.5、7.5 31.1、2.2、3.3、6.6; 42、4、4、8。四、解答题: 1已知:3x5y0,求:(1);(2);(3) 2已知:xyz234,求:的值。 练习二一、填空:1、如图(1),在 中,R在BC的延长线上,AR交BD于P,交CD于Q,若DQCQ43,则APPR 图(1) 图(3) 图(4)2、如图(2),在梯形ABCD中,CDAB,AC、BD交于点O,过点O作AB的平行线交AD于点E,交BC于点F,则图中有 对相似形三角形;若DC9,AB15,则ODOB ,EF 。3、如图(3),在ABC中,BAC900,CE平分ACB,ADBC,垂足为D,AD、CE相交于点F,则AFC 。 4、如图(4),要使AEFABC,已具备的条件是 ,还需补充的条件是 或 或 。 5、如图(5),点D是ABC内一点,连结BD并延长到E,连结AD、AE,若BAD200,则EAC 图(5) 图(6)6、在ABC中,ADBC,DEAB,则有AD2 ,ED2 ,BD2 。若DFAC,则还有线段 是比例中项。二、解答题:1、如图(1),在 中,对角线AC、BD相交于点O,BC18,E为OD的中点,连结CE并延长交AD于点F,求DF的长。2、如图(3),在ABC中,E、F分别是AC、BC的中点,AF与BE交于点O,EDAF,交BC于点D,求BOOE的值。3、如图,AE2ADAB,且ABEC,试说明BCEEBD。ABDCE12ABDCE4、如图,已知,试说明:ABECACBD。5、如图,D是ABC内一点,在ABC外取一点E,使CBEBAD,试说明
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