专题02 曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值(范围)等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有：1.已知斜率求切点已知斜率，求切点，即解方程. 2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点(1)已知切点求切线方程：求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；由点斜式求得切线方程为(2)求过点P的曲线的切线方程的步骤为：第一步，设出切点坐标P(x1，f(x1)；第二步，写出过P(x1，f(x1)的切线方程为y-f(x1)f(x1)(x-x1)；第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步，将x1的值代入方程y-f(x1)f(x1)(x-x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程3.求切线倾斜角的取值范围先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决4.根据导数的几何意义求参数的值(范围)时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解5.已知两条曲线有公切线，求参数值(范围).6.导数几何意义相关的综合问题【压轴典例】例1.(2019江苏高考真题)在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e，-1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是( )A B C D例2.(2020全国卷高考理科T6)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1)处的切线方程为()A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1例3(2020江苏高三期中)(多选)在直角坐标系内，由，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是( )A曲线在点处的切线方程为 BC曲线关于点对称 D当时，例4(2020河北唐山高三)(多选)设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含下列哪些( )ABCD例5(2020湖北武汉高三)已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值可以是( )A0BCD例6(2020梅河口市第五中学高三)已知函数，曲线在点处与点处的切线均平行于轴，则的取值范围是( )ABCD例7.(2019全国高考真题)已知函数.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.例8. (2020山东曲阜高三)已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围 ，设例9.(2020新高考全国卷)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)1,求a的取值范围.例10.(2020北京高考T19)已知函数f(x)=12-x2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;(2)设曲线y=f(x)在(t,f(t)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.例11.(2019山西太原高三)已知函数.()证明：；()若直线为函数的切线，求的最小值.例12.(2020四川棠湖中学高三)已知抛物线 ，M为直线上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA,MB，切点分别为A,B.(1)当M的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B三点的圆的方程； (2)证明：以为直径的圆恒过点M.【压轴训练】1(2020河津中学高三)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的线方程为( )ABCD2(2020江苏常州市高三期中)已知函数，若曲线在点处的切线是曲线的所有切线中斜率最小的，则( )AB1CD23(2020河南鹤壁高三)将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等.建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则( )A是偶函数BC随的增大而减小D的面积随的增大而减小4(2020江西吉安市高三)已知曲线：在处的切线与曲线：在处的切线平行，令，则在上( )A有唯一零点B有两个零点C没有零点D不确定5(2019湖南高考模拟)过抛物线上两点分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点，则直线的方程为( )ABCD6(2020全国高三其他模拟)(多选)已知函数的图象在点处与点处的切线均平行于轴，则( )A在上单调递增 BC的取值范围是D若，则只有一个零点7(2020辽宁高三期中)已知幂函数在区间上单调递增，曲线在点处的切线与轴、轴分别相交于、两点，为坐标原点，若的面积为2，则点的坐标为_.8(2020四川成都市华西中学高三)已知函数在区间内存在平行于轴的切线，则实数的取值范围为_9.(2019山东高考模拟)已知函数，设两曲线，有公共点P，且在P点处的切线相同，当时，实数b的最大值是_10.(2020安徽高考模拟)已知函数，直线：.()设是图象上一点，为原点，直线的斜率，若 在 上存在极值，求的取值范围；()是否存在实数，使得直线是曲线的切线？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；()试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.11. (2021河北高考模拟)已知函数，当时，求实数a的取值范围；当时，曲线和曲线是否存在公共切线？并说明理由12.(2020广西高考模拟(理)已知函数在区间上为增函数，.(1)求实数的取值范围；(2)当取最大值时，若直线：是函数的图像的切线，且，求的最小值.13.(2021四川高考模拟)已知函数，.(1)若，求函数在区间(其中，是自然对数的底数)上的最小值；(2)若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.14.(2020湖南高考模拟)设函数.()讨论的极值；()若曲线和曲线在点处有相同的切线，且当时，求的取值范围 .15.(2021天津高考模拟)已知函数.(1)若在上单调递减，求的取值范围；(2)若在处取得极值，判断当时，存在几条切线与直线平行，请说明理由；(3)若有两个极值点，求证：.16.(2020辽宁高考模拟)已知，函数讨论的单调性；若是的极值点，且曲线在两点处的切线相互平行，这两条切线在轴上的截距分别为，求的取值范围.