专题37 几何动态性问题之动图问题（解析版）类型一 动直线问题1（2022肥东县校级模拟）如图，在菱形ABCD中，连接AC，AB5，AC8，垂直于AC的直线l从点A出发，按AC的方向平移，移动过程中，直线l分别交AB（BC），AC，AD（DC）于点E，G，F，直到点G与点C重合，记直线l的平移距离为x，AEF的面积为S，则S随x变化的函数图象大致为（）ABCD思路引领：分两种情况，由三角形的面积公式列出S关于x的函数解析式即可，解：连结BD交AC于O，AC，BD是菱形的对角线，BDAC，AOOC=12AC4，BD2BO2AB2AO2=25242=6，当EF在BD左侧时，如图所示：EFAC，EFBD，AEFABD，AGAO=EFBD，EF=AGBDAO=32x，S=12AGEF=12x32x=34x2，当0x4时，图象是开口向上的抛物线，且S随x的增大而增大；当EF在BD右侧时，如图所示：AGx，CG8x，EFBD，CEFCBD，EFBD=CGCO，EF=CGBDCO=6(8x)4=32（8x），S=12AGEF=12x32（8x）=34x26x，当4x8时，图象是开口向下的抛物线，且S随x的增大而增大故选：A总结提升：本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是根据三角形的面积公式列出函数解析式2（2022春南安市期中）如图1，在四边形ABCD中，ADBC，直线lAB，当直线l沿射线BC的方向从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E，F设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示下列结论：BC的长为5；AB的长为23；当4x5时，BEF的面积不变；ACD的面积为332，其中正确的结论是 （填写序号）思路引领：分别研究直线l平移的位置的三种情况，线段l与四边形ABCD的位置，结合函数图象进而求解解：从图2知：当4x5时，y的值不变，相应的对应图1是：直线EF从过点A开始到经过C点结束，EF的值不变，即当BE4，BE经过点A，当BE5时，EF经过点C，BC5，正确；从图1，BE14，E1F12，BF1E190，AB=4222=23，正确；当4x5时，如图3，SBEF=12BEFH，FH不变，BE变化，BEF的面积变化，故结论不正确；由函数图象可知AD734，由上可知FH=2324=3，ACD的面积为1243=23，故不正确；故答案为：总结提升：本题考查了动点问题的函数图象，图形的实际运动和其对应的函数图象问题，解决问题的关键是找出函数图象上关键点对应的实际图形的位置3（2022思明区校级二模）如图，四边形ABCD是矩形，平移线段AB至EF，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，且点E恰好落在边BC上（1）若AFDF，求证：点E为BC中点；（2）若BCkAB，2k2，是否存在BFC90？请说明理由思路引领：（1）根据矩形的性质证明BAFCDF（SAS），可得BFCF，再根据等腰三角形的性质即可解决问题；（2）证明BEFFEC，设BEx，则CEBCBEkABx，然后根据一元二次方程的根的情况即可解决问题解：（1）四边形ABCD是矩形，ABCD，BADADCABC90，AFDFBAFCDF，在BAF和CDF中，AB=CDBAF=CDFAF=DF，BAFCDF（SAS），BFCF，由平移可知：EFAB，BEFABC90，EFBC，点E为BC的中点；（2）BCkAB，2k2，不存在BFC90，理由如下：若BFC90，则FBC+FCB90，由平移可知：EFAB，EFAB，BEFABC90，EFBC，BEFCEF90，FBC+BFE90，BFEFCB，BEFFEC，BEEF=EFCE，EF2BECE，BCkAB，设BEx，则CEBCBEkABx，AB2x （kABx），整理，得：x2kABx+AB20，（kAB）241AB2（k24）AB2，当2k2时，k240，（k24）AB20，一元二次方程没有实数根，当BCkAB，2k2，不存在BFC90总结提升：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平移的性质，解决本题的关键是得到BEFFEC4（2021春东港区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0），（12，6），直线y=32x+b（b0）与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E（1）若直线y=32x+b（b0）平分矩形OABC的面积，求b的值；（2）在（1）的条件下，过点P的直线，与直线BC和x轴分别交于点N、M问：是否存在ON平分CNM的情况？若存在，求线段DM的长，若不存在，请说明理由（3）将（1）中的直线沿y轴向下平移a个单位得到新直线l，矩形OABC沿平移后的直线折叠，若点O落在边BC上的F处，CF9，求出a的值思路引领：（1）根据直线y=32x+b（b0）平分矩形OABC的面积，则直线必过矩形的中心，求出中心坐标代入即可；（2）假设存在ON平分CNM，过点O作OHMN于H，利用角平分线的性质得OHOC6，从而OPN30，则OMOPtan3043，分两种情形，当PM与线段BC，OA交于N，M时，利用DMODOM即可，当PM与直线BC，OA交于N，M时，则DMOD+OM；（3）设平移后的直线y=32x+m，在RtCPF中，借助勾股定理得方程（m6）2+92m2，解方程即可解：（1）直线y=32x+b（b0）平分矩形OABC的面积，直线过矩形的中心，B（12，6），矩形中心为（6，3），326+b3，解得b12；（2）如图，假设存在ON平分CNM的情况，当PM与线段BC，OA交于N，M时，过点O作OHMN于H，ON平分CNM，OCBC，OHMN，OHOC6，OP12，OPN30，OMOPtan3043，当y0时，32x+12=0，解得x8，OD8，DMODOM843；当PM与直线BC，OA交于N，M时，如图，同理可得，此时DMOD+OM8+43，综上：存在ON平分CNM的情况，此时DM843或8+43；（3）设平移后的直线y=32x+m与y轴交于点P，沿此直线折叠，点O的对应点恰好落在BC边上F处，连接PF，OF，则有OPPFm，CPm6，在RtCPF中，由勾股定理得：（m6）2+92m2，解得m=394，PP12394=94，a=94总结提升：本题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质，翻折的性质，角平分线的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键，题目综合性较强类型二 动三角形问题5（2022黑山县一模）如图，等边ABC的顶点C和DEFG的顶点D重合，且BC和DE在同一条直线上，AB2，DG2，DE3，GDE60现将ABC沿DE的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点B与点E重合时停止运动，在这个运动过程中，ABC与四边形DEFG的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系的图象大致是（）ABCD思路引领：分三种情况：0t2时，由重叠部分为边长为t的等边三角形可得S=34t2；2t3时，由重叠部分即为ABC得S=3422=3；3t5时由重叠部分是SABCSHEC且HEC边长为t3可得S=34t2+332t534，据此可得答案解：当0t2时，如图1，由题意知CDt，HDCHCD60，CDH是等边三角形，则S=34t2；当2t3时，如图2，S=3422=3；当3t5时，如图3，根据题意可得CECDDEt3，CHEC60，CEH为等边三角形，则SSABCSHEC=342234（t3）2=34t2+332t534；综上，0t2时函数图象是开口向上的抛物线的一部分，2t3时函数图象是平行于x轴的一部分，当3t5时函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：D总结提升：本题主要考查动点问题的函数图象，根据重叠部分形状的变化情况分类讨论是解题的关键6（2021春汉阴县月考）如图，在三角形ABC中，ABC90，BC11，把三角形ABC向下平移至三角形DEF后，ADCG6，则图中阴影部分的面积为 思路引领：先根据平移的性质得到ADBE6，EFBC11，SABCSDEF，则BG5，由于S阴影部分S梯形BEFG，所以利用梯形的面积公式计算即可解：三角形ABC向下平移至三角形DEF，ADBE6，EFBC11，SABCSDEF，BGBCCG1165，S梯形BEFG=12（5+11）648，S阴影部分+SDBGSDBG+S梯形BEFG，S阴影部分S梯形BEFG48故答案为48总结提升：本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等7（2021仪征市二模）如图，RtABCRtFDE，ABCFDE90，BAC30，AC4，将RtFDE沿直线l向右平移，连接BD、BE，则BD+BE的最小值为 思路引领：根据平面直角坐标系，可以假设E（m，3），则D（m+1，23），则BD+BE=(m+1)2+(23)2+m2+(3)2，欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R（m，0），使得R到M（1，23），N（0，3）的距离和的最小值，如图1中，作点N关于x轴的对称点N，连接MN交x轴题意R，连接RN，此时RM+RN的值最小，最小值MN的长解：建立如图坐标系，在RtABC中，ABC90，AC4，BAC30，BC=12AC2，AB=3BC23，斜边AC上的高=2234=3，ABCFDE，EFAC4，斜边EF上的高为3，可以假设E（m，3），则D（m+1，23），BD+BE=(m+1)2+(23)2+m2+(3)2，欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R（m，0），使得