初等数学研究习题解答第一章 数系1.1 集合论初步自然数的基数理论习题1.11证明集合与实数集对等。证明：取对应关系为，这个函数构成与的一一对应，所以集合与实数集对等。2证明证明：或，或（且），那么有或同时还有或，即同时还有，所以反过来：且，对于前者有或者；对于后者有或者，综合起来考虑，与前后都有，所以应是“且”即“”，再结合的地位“或者”以及前后关系有“或”即，所以所以。3已知集合有10个元素，都是的子集，有5个元素，有4个元素，有2个元素，那么有几个元素？解：集合如图1所示：由于，所以，从而，即有8个元素4写出集合的全部非空真子集。5证明，按基数理论定义的乘法对加法的分配律成立。证明：设是三个有限集合，并且，记首先：由于，所以，所以其次：对于，由于，那么若，于是；若，于是，所以总有即反过来：，那么或者于是有或者，即，所以即所以6在基数理论定义的乘法下，证明。证明：设，则，是任意有限集，并且。作集合：，显然作对应，而这个对应是从到的一一对应，所以与对等，从而有：，即。1.2 自然数的序数理论习题1.21用定义计算。解：；。2用定义计算解：3在序数理论下，证明自然数的离散性，即不存在自然数，使介于与之间。证明：假若不然，由于，则必然是，由于，所以存在使，由于，所以，即，矛盾（此前有）4用第一归纳法证明是9的倍数。证明：对于，有，结论成立；设成立，那么所以结论在也成立。5用第二归纳法证明数列的每一项都是自然数。证明：由于，即是自然数；设都是自然数，那么从而也是自然数，故“的每一项都是自然数”成立。1.3 复数的三角形式与指数形式 习题1.31利用复数推导三倍角公式解：设，那么，另一方面，将展开：比较实部和虚部，即得：2设M是单位圆周上的动点，点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等腰直角三角形斜边的端点，并且成逆时针方向，当M点移动时，求点N的轨迹。解：如图1-1，设对应的复数记为由于成逆时针方向，将向量绕点逆时针旋转后必与向量重合，所以有即 亦即：所以，但所以：整理即得：3设圆的方程为，点，在给定的圆周上，以为底边作等腰直角，并且成逆时针方向。当移动时，求点的轨迹。解：设、对应的复数分别为：、不失一般性，不妨设成逆时针方向。于是有 这时：所以有：亦即 故 ， 从中解出得： 所以有：，即4设是复平面上三个点A、B、C对应的复数，证明三角形ABC是等边三角形的充分必要条件是证明：不失一般性，不妨设成逆时针方向，如图1-2，于是按照复数乘法的几何意义有，即但不共线。所以于是展开整理即得即。5试写出的四个四次方根。解：的幅角为，模为1，而的四分之一为，所以的四个四次方根的幅角依次为、，模都为，从而这四个虚根依次为、6用复数的乘法证明：（1）（2）证明：（1）设四个复数那么： 所以，即而即 （2）设三个复数那么： 所以，即而 所以 1.4 近似数的概念与计算习题1.41已知近似数2315.4的相对误差界是0.02%，试确定它的绝对误差界,并指出它的有效数字的个数.解：所以，绝对误差界=0.46，有效数字的个数为5。2把数1460000.2471精确到十位、百位、千位、万位时，结果分别表示为什么?解：分别是：1.46000106、1.4600106、1.460106、1.46106。3把数5.2435、6.5275000、3.5465、7.278500精确到千分位时的结果分别是多少?解：分别是5.244、6.528、3.546、7.2784测量一个螺栓的外径和一个螺帽的内径分别应该用哪种近似数的截取方式？请简要说明理由。解：螺栓外径用进一法，螺帽内径用截尾法。因为螺栓外径的测量值必须不小于真值，而螺帽内径的测量值必须不大于真值，否则螺帽将套不住与之配套的螺栓。5近似计算：（1）1.21041.531035003.6（2）43.260.3824（3）32.2642.13（4）(2.63103)2.43564解：（1）1.9104；（2）42.88；（3）68.7；（4）1.081036一块圆柱形金属部件的底面半径长的标准尺寸为75mm，高为20mm。加工时一般会有误差。但要求成品的体积的绝对误差不超过5mm3，问测量时底面半径和高各自应达到怎样的精确度？解：部件的体积因为误差不能超过5mm3，它是10mm3的半个单位，所以体积的精确度应该是十位（单位mm3），即V应该有5个有效数字，从而测量时，底面半径、高都要有6个有效数字而底面半径、高本身的整数部分是两位整数，所以要达到6个有效数字，测量精确度必须达到（的半个单位），常数应取近似值为3.14159。7一个圆锥形部件底面半径的标准尺寸为10cm，高为20cm。要使加工好的成品体积的相对误差不超过1%，底面半径和高应该用怎样的精确度的量具来量？解：部件的体积，绝对误差为，它不足的半个单位，这样V的百位和千位数字是可靠数字，即V有两个可靠数字，所以，底面半径和高都必须有3个有效数字，从而测量精确度应该达到0.1cm的半个单位，即要用测量精度达到0.05cm的量具来量。常数应取近似值3.14。第二章 解析式2.1 解析式的概念与运算 习题2.11将下列分式展开成部分分式（1） （2）（3） （4）（5） （6）解：（1）用综合除法将展成的多项式所以从而（2）设那么所以 解之得：，所以（3）因为，所以可设：这时 即 解之得：，所以 （4）设则：所以（5）而，所以（6）由于设所以2已知，求证：证明：由于并且 所以从而原等式成立。3已知，求证：证明：记将每个分母的1用代替，同时每个分式约分得：将的第一个、第二个、第三个、第四个分式的分子和分母分别同乘以、，并利用，得：即：再将的第一个、第二个、第三个、第四个分式的分子和分母分别同乘以、，并利用，又得：即+得：所以 2.2 根式的化简 习题2.21化简下列各式：（1） （2）（3）解：（1）由于是完全平方数，所以原式可以化简。（2）（3）2化简下列各式：（1）（2）（3）（4）解（1）；（2）；所以：（3）（4）令则所以3设，化简：解：4设，求的值解：所以，于是5求下列各式的平方根（1） （2）解：（1）设两边平方：于是：即所以。从而（2）设两边平方：于是：即所以。从而6求下列各式的立方根：（1）； （2）（3）； （4）解（1）设，那么所以，而，故从而，即解方程组：，得，所以（2）设，那么所以， 解这个方程组，得，所以（3），对于，设，那么所以，而，故从而，即解方程组：，得，所以从而的立方根是。（4）设那么所以；而，故从而，即而所以解方程组：，得，所以第三章 高次方程与不等式3.1 一元高次方程 习题3.1解下列方程：12345678910.解： 1. 用除方程两边得：配方得：所以 或或所以或2.用除方程两边得：配方得：分解因式：所以 或或所以或3.由于是原方程的根，所以原方程可以分解为对于用除方程两边得：配方得：分解因式：所以 或或所以原方程的根为，4. 用除方程两边得：配方得：所以 或或所以或5. 用除方程两边得：配方得：所以 或或所以或6. 由于是原方程的根，所以原方程可以分解为对于用除方程两边得：令，则，于是得：分解因式得：所以有即所以原方程的根为， 7. 用除方程两边得：令，则，于是得：，显然是一个根，所以可以分解为即所以原方程的根为：8由于是原方程的根，所以原方程可以分解为对于用除方程两边得：配方得：所以 ，即，所以原方程的根为：，9用除方程两边得：配方得：所以，或，即，或，所以原方程的根为和10. 用除方程两边得：配方得：所以，即由于所以方程可以分解为：所以原方程的根为：。3.2 不等式及其证明习题3.21设，试比较与的大小。解：所以 2求证证明：用数学归纳法：由于，即不等式在时成立，设在时，不等式成立，即：各部分同时加上，并记，那么，有：这时所以 成立。故原不等式成立。3设求证证明：用数学归纳法：记由于，即不等式在时成立。设在时，不等式成立，即：那么 由于 所以即成立。故原不等式成立。4求证证明：记，再令，则那么，于是由于函数的值域不是空集，而是任意实数，所以关于的方程有实数解。当时，对应的二次方程的判别式：当时，方程变成，这个方程有解，即是在的函数值，所以，函数的值域为，即5证明证明：由于；所以，即令即得：6证明其中n是自然数。证明： 由二项式定理：此时，由于所以故，即3.3 几个重要不等式及其应用 习题3.31设都是正数，并且，求证证明：2设是实数，是正数，求证：由于是正数，由柯西不等式有：所以成立。3设正数满足求证： 证明：利用柯西不等式所以4设是正数，求证证明：可以变形成进一步变形成，这就是本节的例5.5设是正数，求证证明 6设是n个互不相同的正整数。求证：证明：不失一般性，不妨设，同时由于是互不相同的正整数，所以必有：因此 7在中，角、的对边为、，证明证明：不失一般性，不妨设，于是有，由排序不等式有：所以：所以： 第四章 初等函数的若干问题4.1 函数的概念及其性态习题4.11求证函数是奇