第六章数 值 积 分6.1数值积分基本概念6.1.1引言在区间上求定积分 (6.1.1)是一个具有广泛应用的古典问题，从理论上讲，计算定积分可用Newton-Leibniz公式 (6.1.2)其中F(x)是被积函数f(x)的原函数.但实际上有很多被积函数找不到用解析式子表达的原函数，例如等等，表面看它们并不复杂，但却无法求得F(x).此外，有的积分即使能找到F(x)表达式，但式子非常复杂，计算也很困难.还有的被积函数是列表函数，也无法用(6.1.2)的公式计算.而数值积分则只需计算f(x) 在节点xi(i=0，1,n)上的值，计算方便且适合于在计算机上机械地实现.本章将介绍常用的数值积分公式及其误差估计、求积公式的代数精确度、收敛性和稳定性以及Romberg求积法与外推原理等.6.1.2插值求积公式根据定积分定义，对及都有(极限存在)若不取极限，则积分I(f)可近似表示为 (6.1.3)这里称为求积节点，与f无关，称为求积系数，(6.1.3)称为机械求积公式.为了得到形如(6.1.3)的求积公式，可在上用Lagrange插值多项式，则得 其中 (6.1.4)这里求积系数由插值基函数积分得到，它与f(x)无关.如果求积公式(6.1.3)中的系数由(6.1.4)给出，则称(6.1.3)为插值求积公式.此时可由插值余项得到(6.1.5)这里，(6.1.5)称为插值求积公式余项.当n=1时，此时 由(6.1.4)可得 于是 (6.1.6)称为梯形公式.从几何上看它是梯形AbB(见图6-1)的面积近似曲线y=f(x)下的曲边梯形面积，公式(6.1.6)的余项为(6.1.7)6.1.3求积公式的代数精确度当被积函数即f为次数不超过n的代数多项式时，故由(6.1.5)有，它表明插值求积公式(6.1.3)精确成立.对一般机械求积公式(6.1.3)，同样可以根据公式是否对m次多项式精确成立作为确定公式(6.1.3)中系数及节点的一种方法.在此先给出定义.定义1.1一个求积公式(6.1.3)若对精确成立，而对不精确成立，则称求积公式(6.1.3)具有m次代数精确度.根据定义，当时公式(6.1.3)精确成立，故有等式(6.1.8)而(6.1.8)是关于系数及节点的方程组，当节点给定时，(6.1.8)取m=n就是关于系数的线性方程组，求此方程组就可求得求积系数.例如n=1，取，求积公式为在(6.1.8)中令m=1，可得解得它就是梯形公式(6.1.6)的系数，它与用公式(6.1.4)算出的结果完全一样.对梯形公式(6.1.6)，当时故求积公式(6.1.6)的代数精确度为一次.对于具有(n+1)个节点的插值求积公式(6.1.3)，当时，故公式精确成立，它至少有n次代数精确度.反之，若求积公式(6.1.3)至少有n次代数精确度，则它是插值求积公式，即(6.1.3)的求积系数一定可用(6.1.4)求出.实际上，此时对求积公式(6.1.3)精确成立，若取f(x)为插值基函数，即由(6.1.3)精确成立，可得这就是(6.1.4)得到的插值求积公式系数.定理1.1求积公式(6.1.3)是插值求积公式的充分必要条件是(6.1.3)至少具有n次代数精确度.定理表明直接利用代数精确度概念，由(6.1.8)可求得插值求积公式.更一般地，含有被积函数的导数的求积公式也同样可用代数精确度定义建立.如下例所示.例6.1求积公式，已知其余项表达式为.试确定系数及，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数及求积公式余项.解本题虽用到的值，但仍可用代数精确度定义确定参数及.令，分别代入求积公式.令公式两端相等，则当当当解得，于是有 再令，此时，而上式右端为，两端不等，则求积公式对不精确成立，故它的代数精确度为二次.为求余项可将代入求积公式当，代入上式得，即所以余项.6.1.4 求积公式的收敛性与稳定性定义1.2若，则称求积公式(6.1.3)是收敛的.定义中n包含了通常都要求用于计算积分(6.1.1)的求积公式(6.1.3)是收敛的.本章后面给出的求积公式都必须先证明其收敛性.稳定性是研究计算和式当有误差时，的误差是否增长.现设，误差为.定义1.3对任给，只要，就有则称求积公式(6.1.3)是(数值)稳定的.定义表明只要被积函数f(x)的误差充分小，积分和式的误差限就可任意小，则(6.1.3)就是数值稳定的.定理1.2若求积公式(6.1.3)的系数则求积公式(6.1.3)是稳定的.证明由于，故有 于是对，只要，就有故求积公式(6.1.3)是稳定的.讲解：数值积分就是将求积分转化为求和（即6.1.3式）这样不管被积函数多么复杂，它都能在计算机上机械实现。把（6.1.3）式称为机械求积公式，为求积节点，为求积系数，建立求积公式有两种途径，一是利用 的插值多项式积分得到，二是根据代数精确度概念，通过解方程得到及。特别当节点给定时，方程（6.1.8）是关于的线性方程组，它是容易求解的。定理1.1给出了插值求积公式与代数精确度之间的关系。求积公式收敛性简单说就是当和式收敛于积分值。而稳定性是研究计算和式 的误差积累，即当有误差时，只要误差充分小则和式误差也任意小，这就是稳定的。定理1.2表明只要求积公式（6.1.3）的系数，则求积公式就是稳定的。6.2梯形公式与Simpson求积公式6.2.1Newton-Cotes公式与Simpson公式在插值求积公式中，若求积节点，此时可将求积公式写成 (6.2.1)称为Newton-Cotes求积公式，其中系数称作Cotes系数.按(6.1.4)式引入变换，则有(6.2.2)由于是多项式积分，计算不会有困难.例如n=1时，.这时求积公式就是我们熟悉的梯形公式(6.1.6).n=18时的系数见表6-1.从表中看到n=8时出现负数，稳定性没保证,所以一般只用n4的公式.表6-1当n=2时，由(6.2.2)可得，求积公式为(6.2.3)称为Simpson求积公式.对梯形公式(6.1.6)，已知它的代数精确度为一次，且它的余项已由(6.1.7)给出，若记，则由于，在上不变号，由积分中值定理得知，使(6.2.4)这就是梯形公式(6.1.6)的截断误差.对Simpson公式(6.2.3)可以证明它的代数精确度是三次，根据定理1.1，显然(6.2.3)对精确成立，再对，左端为，右端为故(6.2.3)对也精确成立.而对，公式(6.2.3)不精确成立.故求积公式(6.2.3)的代数精确度是三次，即(6.2.3)对任何精确成立.若令P(x)满足条件这里,于是由(6.2.3)有 根据上章例5.6中(5.5.12)式有上式两边积分，并记，则得由于在区间上(不变号，故由积分中值定理得于是有(6.2.5)这就是Simpson求积公式(6.2.3)的余项，即截断误差.讲解：当求积节点(k=0,1,n)为等距节点，直接由插值求积得到的求积公式就转为Newton-Cotes求积公式。但使用时通常只用n=1，2，4三种情况，它们分别称为梯形公式，Simpson公式和 Cotes公式，梯形公式它的局部截断误差直接由插值余项积分得到，由（6.2.4）给出，即对于n=2的情形给出的Simpson求积公式（6.2.3），它具有3次代数精确，也就是它对任何次数不超3次的多项式精确成立，为使求积公式余项能反映这一性质，我们不用2次的Lagrange插值近似被积函数f(x)，而用带导数的3点3次Hermite插值，即造，满足条件：于是由Hermite插值余项表达式，可得对上式两端从到b积分，并利用积分中值定理就可得到Smpson求积公式的余项（6.25）对于n=4的Newton-Cotes公式根据（6.2.2）可算出，于是有这里，余项6.2.2复合梯形公式与复合Simpson公式直接用梯形公式(6.1.6)及Simpson公式(6.2.3)计算积分I(f)误差较大，为达到精度要求，通常可将分为n个小区间，在小区间上应用梯形公式及Simpson公式即可达到要求.为此取分点,在每个小区间上用梯形公式(6.1.6)，则得或 (6.2.6)称为复合梯形公式.根据定积分定义可知故复合梯形公式(6.2.6)是收敛的，且(6.2.6)的求积系数，故它也是稳定的.(6.2.6)的截断误差可由(6.2.4)得到若，根据连续函数性质，,使于是得它表明复合梯形公式(6.2.6)的截断误差阶为如果在每个小区间上使用Simpson公式(6.2.3)，则得(6.2.8)称为复合Simpson公式，它的余项由(6.2.5)可得即 (6.2.9)它表明.此外，还可证明故复合Simpson公式(6.2.8)是收敛的，并且，故公式也是稳定的.例6.2用n=8的复合梯形公式及n=4的复合Simpson公式，计算积分，并估计误差.解只要将区间0，1分为8等分，用公式(6.2.6)时取n=8，h=0.125，对复合Simpson公式取n=4,h=0.25.计算各分点的函数值.由公式(6.2.6)及(6.2.8)得为了估计误差，要求的高阶导数，由于所以故由(6.2.7)得对Simpson公式，由(6.2.9)得例6.3 计算积分，若用复合梯形公式，问区间0,1应分多少等分才能使截断误差不超过?若改用复合Simpson公式，要达到同样精确度，区间0，1应分多少等分?解 本题只要根据及的余项表达式(6.2.7)及(6.2.9)即可求出其截断误差应满足的精度.由于，对复合梯形公式即.取n=213,即将区间0,1分为213等分时，用复合梯形公式计算误差不超过.而用复合Simpson公式，则要求即.取n=4，即将区间分为8等分，用n=4的复合Simpson公式即可达到精确度.讲解：由于插值求积公式只能用n=1,2,4,用它算积分往往达不到精度要求，为提高求积精度我们可以采用将求积区间分为n个等距的小区间在每个小区间上应用梯形公式或Simpson公式，这就得到复合梯形公式及复合Simpson公式。它们的余项由每个小区间积分余项相加即可得到，结果分别由（6.2.7）及（6.2.9）给出。这两个求积公式是收敛和稳定的。如何利用公式计算积分近似值并估计误差可见例6.2及例6.3。6.3外推原理与Romberg求积6.3.1复合梯形公式递推化与节点加密在计算机上用等距节点求积公式时，若精度不够可以逐步加密节点.设将区间分为n等分