,.第一章极限、连续与间断本章主要知识点求极限的几类主要题型及方法连续性分析间断判别与分类连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型求极限问题归纳为七类主要题型，这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。（ 1 ）题型IlimPm xx Pn x方法：上下同除以x 的最高次幂例 1.1 limx5x2x42xx111limxx5解：原式x11x3x43x22x213例 1.2 lim3x41x,.22 x322323x 1312解：原式limx2x2limxx=12x31x1x434x例 1.3 lim3x13x1x1x1x113x13x 133解：原式 = lim= limxx = 3xx1x1x1111xx例 1.4 lim (4x2x12x)x解：原式 = limx12x4xx12x11= limx1=x41124xx 2例 1.5 lim4x3 x2 x4x3x2xx1 ( 3) x( 1 ) x解：原式 = lim42=1x1( 3) x( 1 ) x42（ 2 ）题型 IIlim pm ( x)x a pn ( x)pm( a) ,pn a 0pn ( a)原式 =,pn ( a)0, pm (a)0上下分解因式 ( 或洛比达） ,pn (a)pm (a)0,.cos x2例 1.6 limx 1x 1解：原式 =1/2例 1.7 lim x32xsinxx1x2x1解：原式 =例 1.8 limx2x22x3x1 x解：原式 = limx(x1)x1= lim=x 1 (x 1)( x 3)x 1 x 3 4x1例 1.9 limx1 3x1解：令 u6x ，原式 = lim u31lim (u1)(u2u1)3u 1 u2 1u 1(u 1)(u 1)2例 1.10. lim ax 22xb2x1x 23x2解： a+2+b=0,原式 = lim ax 22x(a2)2)lim (x 1)( axa2)2a2 2(x1)( x( x1)( x2)a=2,b=-4答案错误（ 3 ）题型 III若lim( )0，g( x)有界lim( )() 0xafxx afxgx例 1.11.limx2xarccot(sin( x21)x3,.解：因为limx2x，而 arccot(sin( x21) 有界x3所以 原式。例 1.12 limln(1tan x)cos 2 ( 2)x0x解：因为ln(1tan x) 0 （ x0 ）， cos2 (2) 有界，x所以原式例 1.13 limxx sin2006 (sin(2006 x)xx111解因为 limxxxx32006x1lim10 ， sin(sin(2006 x) 有界；xx1x所以原式。1（ 4 ）题型 IV lim(1 u) ueu 0识别此类题型尤为重要，主要特征为1未定式步骤如下：1lim( 1 u)vlim( 1u) u uvelim uv例 1.14 lim ( x2) 3x 2x x 1解：原式 lim (13 )(3 x 2) lim 13xx1xx 1lim3(3 x 2)x 1e9x e3 (3 x2)x 1x 13,.21)2 x 1例 1.15 lim ( x25xxx2x3解：原式 lim13x22xx2x3lim( 3 x2)(2 x1)6 exx22 x 3e1例 1.16 lim (1x 2 sin x) xx 01解：原式 = lim(1x2 sin x) x2 sin xx 0（ 5 ）题型 V 等价无穷小替换替换公式： ( x 0)3 x2x2 2 x3 x2 2x(2 x 1)33 x221xsin( x)1sin x xtan x x1cos x 1 x22arcsin x xarctanx xn 1x1 1 xnln(1x) xex1 x替换原则：乘除可换，加减忌换。sin xx例 1.17 limx3x0错解： lim xx=0x 0x3ln(12x) sin(5x)例 1.18 limx2x0e 21,.解：原式 = lim2x 5x=-20x2x 0231 2x 21例 1.19 limarctan x2x 01