For personaluse only in study and research;not for commercialuse莄 小学奥数平 面几何 五种 模型（ 等积， 鸟头， 蝶形， 相像， 共边）罿肇蚆目标：娴熟掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相像（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型微风筝模型）， 掌握五大面积模型的各样变形肃知识点拨聿一、等积模型膇 等底等高的两个三角形面积相等；S1S2ab肇 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；A BCD袅两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；肂 如右图 S1 : S2a : b芆 夹在一组平行线之间的等积变形，如右图SACDSBCD；膄反之，假如 SACDSBCD ，则可知直线AB平行于CD芃 等底等高的两个平行四边形面积相等 ( 长方形和正方形能够看作特别的平行四边形 ) ；袁 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；莆 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比薅二、鸟头定理羅两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形蚀 共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比蚀如图在 ABC 中， D , E 分别是 AB, AC 上的点如图( 或 D 在 BA 的延伸线上， E在 AC 上) ，羆则 S ABC : S ADE ( AB AC ) : ( AD AE)DAADEEDBCBC蒃AS1SS42O蚃图图S3BC螀三、蝶形定理莇 随意四边形中的比率关系( “蝶形定理” ) ：膅 S1 : S2S4 : S3 或许 S1S3S2S4 AO : OCS1S2: S4S3蒂蝶形定理为我们供给认识决不规则四边形的面积问题的一个门路经过结构模型，一方面能够使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也能够获得与面积对应的对角线的比率关系aADS1S2S4OS3BCb袀 梯形中比率关系 ( “梯形蝶形定理” ) ：螈 S1 : S3a 2 : b2蚂 S1 : S3 : S2 : S4 a2 : b2 : ab : ab ；膁 S 的对应份数为 a b2 羀羄四、相像模型莄( 一) 金字塔模型(二)沙漏模型AEFDADFEBGCBGC罿肀 ADAEDEAF ；ABACBCAG莅 SADE： SABCAF 2 : AG 2 螂 所谓的相像三角形， 就是形状相同，大小不一样的三角形 ( 只需其形状不改变，无论大小如何改变它们都相像 ) ，与相像三角形有关的常用的性质及定理以下：肂 相像三角形的全部对应线段的长度成比率，并且这个比率等于它们的相像比；膀 相像三角形的面积比等于它们相像比的平方；螆 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线蒄三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半螁相像三角形模型，给我们供给了三角形之间的边与面积关系相互转变的工具膀在小学奥数里，出现最多的状况是因为两条平行线而出现的相像三角形膇五、共边定理（燕尾模型微风筝模型）羂 在三角形 ABC 中， AD ， BE ， CF 订交于同一点 O ，那么AS ABO : S ACO BD : DC FE薀上述定理给出了一个新的转变面积比与线段比的手段，因O为 ABO 和 ACO 的形状很象燕子的尾巴， 所以这个定理被称为燕尾定理该定理在很多几何题目中都有着宽泛的运用，BDC它的特别性在于，它能够存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间供给相互联系的门路 .艿典型例题【例1】【例2】芄如图，正方形ABCD的边长为 6， AE1. 5， CF2长方形 EFGH的面积为荿 _ H袇肃_A蕿膁_ D蝿羂袄肆_E衿蒀蚅膂 _G莃芇_ H_A膃蒅 _ D_E羈艿 _G虿袀_ B葿莂 _F 芁蒇 _ C螅肄_ B袅袆_ F 蝿蚁 _ C蚄【分析】【分析】 节连结 DE，DF，则长方形 EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍肈 三角形 DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，莄 S DEF661.5622624.54216.5 , 所以长方形EFGH面积为 33肅【稳固】以下图，正方形 ABCD 的边长为 8 厘米，长方形 EBGF 的长 BG 为10 厘米，那么长方形的宽为几厘米？薆莈 _E膂薄 _E螅膈 _A螀薃 _B莀蒄 _A肄蒈 _B薁蚂 _F袆蚇 _F【分析】羇莈 _D膆芈_G袃芄 _C羁肂 _D腿袂_G蒅薇 _C肁( 长【分析】螇此题主假如让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等方形和正方形能够看作特别的平行四边形) 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半莇证明：连结 AG ( 我们经过 ABG 把这两个长方形和正方形联系在一同 ) 螄在正方形 ABCD 中， S ABG1AB AB 边上的高，2螀 S ABG1S ABCD ( 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的2一半 )袇同理， S ABG1 SEFGB 2螈正方形 ABCD 与长方形 EFGB 面积相等长方形的宽8 8 10 6.4 ( 厘米) 节【例3】【例4】长方形 ABCD 的面积为36 cm ， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上2螃随意一点，问暗影部分面积是多少？AHDEG羇 BFC【分析】【分析】 袅解法一：找寻可利用的条件，连结BH 、 HC ，以下列图：AHDEG羃BFC可 得 ： S EHB111薂S AHB 、 S FHBS CHB 、 S DHGS DHC ， 而222SABCD S AHBS CHB S CHD 36羇即 S EHBS BHFS DHG1 ( S AHBS CHBS CHD )13618 ；22芅而S EHB S BHFS DHGS暗影 S EBF，1111136 4.5 S EBFBE BF(AB ) (BC )22228蚅所以暗影部分的面积是： S18S EBF18 4.5 13.5暗影芀解法二：特别点法找H 的特别点，把H 点与 D 点重合，肇那么图形便可变为右图：AD (H)EG蚆BFC肃这样暗影部分的面积就是DEF 的面积，依据鸟头定理，则有：聿1111111S暗影 SABCD S AED S BEF S CFD 36236223636 13.52222膇肇 【稳固】在边长为 6 厘米的正方形 ABCD 内任取一点 P ，将正方形的一组对边二平分，另一组对边三平分，分别与 P 点连结 , 求暗影部分面积ADA (P)DADPPBCBCBC袅【分析】【分析】 （法 1）特别点法因为 P 是正方形内部随意一点， 可采纳特别点法，肂假定 P 点与 A 点重合，则暗影