微 课 教 学 设 计湖南师大附中梅溪湖中学 柏雨薇 课题三角形中线的性质及其推论-等分面积一、教学目标1、 知识与技能目标：在三角形中线的定义的基础上探究、应用三角形中线等分面积的性质及其推论。2、 过程与方法目标：经历数学知识的形成过程，体验转化化归、数形结合等重要的数学思想及研究方法，发展学生的简单推理意识及能力。3、 情感态度价值观目标：通过创设情境激发学生的求知欲，引导学生在学习中获得成就感。二、学情分析1、 学生在小学已学习过三角形的有关线段和角的基本概念；2、 初中生对未知的事物和知识充满了好奇，更有兴趣投入到探究中；3、 初二学生具备基本的推理能力，并保有高度的动手、分析、探索、研究的能力。三、教学内容分析三角形是最常见的几何图形之一，在生产和生活中有广泛的应用。在人教版数学八年级上册第十一章三角形中，除了介绍三角形的高、中线和角平分线的概念，重点落在性质及其应用上。因此本节课设计的内容是三角形中线的性质及其推论，侧重点在中线等分面积这一性质上。从一条到两条再到三条中线划分三角形面积时的不同图形，培养学生对于几何图形的观察能力与性质探究方法的学习。四、教学重难点分析重点：三角形中线的性质及其推论的探究难点：推导过程的理解与掌握五、教学方法策略教学过程中，首先从实际问题中抽象出数学模型，再引导学生从简单到复杂，逐层递进的进行自主探索和推理。采取讲授法、提问法和练习法相结合的多种方式调动学生积极性。六、教学资源手段准备课件 几何画板七、教学过程教师活动设计意图 创设情境首先我们一起来看这样一个实际问题：在一个小村庄中有三户人家共用了一块三角形的农田。现要将这块农田分成三块面积相等的区域，且保证自家附近的一排种自家菜。聪明的你能帮他们想想办法么？ 师：那当我们在解决生活中的数学问题时首先要干什么？ 没错，抽象出数学模型。因此这个问题就是将三角形面积进行三等分，并且要使得三块区域各包含三角形的三条边。 师：那接下来如何寻找具体的划分方式呢？ 是的，一定要联系相关的数学知识和性质来解决。师：看到等分，我们可以联想到什么数学知识？ 很好，有同学会立马想到中点等分线段。知识回顾师：那就让我们回顾一下线段中点的定义，把一条线段分成两条相等的线段的点。（一边播放动画） 中点概念本质是将线段等分。 那我们的问题是要解决三角形面积的等分，又该怎么办呢？新知引入师：不妨在一个三角形中，连接一个顶点和对边的中点，我们就可以连成一条线段，叫做三角形的中线。符号语言如图。 师：那类比中点等分线段，中线是否也具有等分的性质呢？此时，中线将三角形划分成了两个小三角形。而这两个小三角形面积是相等的。师：我们如何来证明呢？师：我们首先列出已知和求证，根据三角形面积公式可以想到作辅助线-BC边上的高AE，根据中点等分线段，得到BD=CD，因此ABD与ADC等底同高，从而推出两个三角形面积相等 。知识小结这样我们就得到了三角形中线的一个重要性质：三角形的任意一条中线把这个三角形分成两个面积相等的三角形。符号语言：AD是 ABC的BC边上的中线学以致用接下来我们不着急往下走，先巩固一下这条性质的运用。请同学们迅速完成以下两个小题。例1 已知ABC的面积为3， （1）延长BC致点D，使得CD=BD，连AD，求SACD. （2）再延长CA至点E，使得AE=AC，连ED，求SECD. 答案：（1） （2）提出问题，引导学生独立思考，并体会解决生活中数学问题的步骤。看到等分，联想到中点等分线段的知识。类比中点等分线段，猜想中线等分？引导学生作辅助线，利用等底同高来证明两个三角形相等。得到三角形一条中线等分三角形面积的性质。通过例题巩固这条性质的运用。深入探究师：刚刚讨论了一条中线两等分三角形面积的性质，但还是没有解决我们刚开始的问题。接下来我们再画一条中线，继续研究中线的性质及推论。如图，除了已作出的中线AD，还可以连接点B与对边AC的中点E作中线BE。记两条中线的交点为O。 师：那么请同学们思考这时图中又有哪些等量关系呢？ 除了可以推出边BC、AC被中点等分，利用刚学习的一条中线等分三角形面积的性质可以推出如下两组三角形面积相等。AD，BE是 ABC的中线 师：让我们再深入思考，此时三角形被两条中线划分为四块，是否还有其他的等量关系？ 根据等式的性质，等量减等量，等式仍成立。面积相等的ABE和ABD减去公共部分，推出对顶的BOD与AOE面积相等。师：事实上我们通过连接三个顶点与对边中点，任何三角形都可以画出三条中线，并且都在三角形的内部交于一点。 如图，在ABC中一共有三条中线AD、BE及CF，交于一点O。此时情况有些复杂，但我们可以从不同角度来分析。先利用三角形一条中线等分面积的性质，在ABC中可以得出以下三组三角形面积相等，且都为ABC面积的一半。 类比两条中线的情形，可以利用等面积三角形减去公共部分得到对顶的三组小三角形面积分别相等。师：再深入思考，此时三条中线将三角形划分成六个小三角形，是否还有其他的等量关系呢？ 不妨把目光再转向由三条中线交点与三个顶点围成的OBC，ABO和AOC中。因为D、E、F分别是三遍的中点，OD、OE、OF分别为这三个三角形一边上的中线。再次根据一条中线等分面积的性质，推出以下三组相邻小三角形面积分别相等。 结合前两个推论，再根据等量代换，推出六个小三角形面积全都相等。从一条中线到两线中线的划分，对图形中的等量关系进行深入探究。三角形中三条中线交于一点，划分为六个小三角形。探究此时图形中的等量关系。这时我们的问题是不是快解决了呢？根据面积比例关系，我们还可以推出这三个由中线交点和顶点围成的三角形面积也相等。 这时三角形被分成了面积相等的三个部分，且能保证三家在自己附近这排种自家菜。师：三角形三条中线的交点与各顶点连接，形成的三个三角形面积相等这条推论并不是那么显然，而是由前面一条中线、两条中线到三条中线之间一系列的性质及推论得来的。 大家一起成功解决了这个问题是不是很有成就感！引导学生一步步对性质的探究，从而解决了引入中的实际问题，获得成就感。拓展提升师：对于三角形三条中线的交点还有一些其他的应用。如果取一块质地均匀的三角形木板，等分面积还会等分质量，顶住这个交点木板会保持平衡。这个平衡点，即三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。事实上对于这个图形我们还可以探究它的很多性质，例如重心O是否等分中线AD呢？ 答案显然是否定的。过点B作BGAD于点G，根据AOB与BOD的面积比2:1来推出底边AO：OD=2:1。但线段比例问题我们不在这节课作讨论了。介绍三角形三条中线的交点为三角形的重心。发散思维结语对三角形的性质研究内容还有很多，也会涉及在后续的三角形全等、平行四边形等知识点中。但对实际问题的解决步骤，几何图形的观察与性质探究的方法希望同学们通过这节课能够加以体会，并在今后的学习中加以运用！ 我们下次课再见！ 鼓励学生利用本课所学的思想方法解决日后更多的问题！