第7讲 函数图象一、选择题1函数y|x|与y在同一坐标系上的图像为()解析 因为|x|，所以函数y|x|的图像在函数y图像的下方，排除C、D，当x时，|x|，排除B，故选A.答案 A2函数y的图象与函数y2sin x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A2 B4 C6 D8解析此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题两个函数都是中心对称图形如上图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在2,4上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.答案D3已知函数f(x)xtan x，若实数x0是函数yf(x)的零点，且0tx0，则f(t)的值 ()A大于1 B大于0 C小于0 D不大于0解析分别作出函数yx与ytan x在区间上的图象，得到0x0，且在区间(0，x0)内，函数yx的图象位于函数ytan x的图象上方，即0x0，则f(t)0，故选B.答案B4如图，正方形ABCD的顶点A，B，顶点C、D位于第一象限，直线l：xt(0t)将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数Sf(t)的图象大致是 ()解析当直线l从原点平移到点B时，面积增加得越来越快；当直线l从点B平移到点C时，面积增加得越来越慢故选C.答案C5给出四个函数，分别满足f(xy)f(x)f(y)，g(xy)g(x)g(y)，h(xy)h(x)h(y)，m(xy)m(x)m(y)又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是()A甲，乙，丙，丁 B乙，丙，甲，丁C丙，甲，乙，丁 D丁，甲，乙，丙解析 图象甲是一个指数函数的图象，它应满足；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足；图象丁是yx的图象，满足.答案 D6如右图，已知正四棱锥SABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分记SEx(0x1)，截面下面部分的体积为V(x)，则函数yV(x)的图象大致为 ()解析(1)当0x时，过E点的截面为五边形EFGHI(如图1所示)，连接FI，由SC与该截面垂直知，SCEF，SCEI，EFEISEtan 60x，SI2SE2x，IHFGBI12x，FIGHAH2 x，五边形EFGHI的面积SFGGHFI 2x3x2，V(x)VCEFGHI2VIBHC(2x3x2)CE21(12x)(12x)x3x2，其图象不可能是一条线段，故排除C，D.(2)当x1时， 过E点的截面为三角形，如图2，设此三角形为EFG，则EGEFECtan 60(1x)，CGCF2CE2(1x)，三棱锥EFGC底面FGC上的高hECsin 45(1x)，V(x)CGCFh(1x)3，V(x)(1x)2，又显然V(x)(1x)2在区间上单调递增，V(x)0，函数V(x)(1x)3在区间上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B，应选A.答案A二、填空题7函数y的图象与函数y2sin x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于_解析函数y和y2sin x的图象有公共的对称中心(1,0)，画出二者图象如图所示，易知y与y2sin x(2x4)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，且x1x2x3x4x5x6x7x8，由对称性得x1x8x2x7x3x6x4x52，x1x2x3x4x5x6x7x88.答案88使log2(x)x1成立的x的取值范围是_解析作出函数ylog2(x)及yx1的图象其中ylog2(x)与ylog2 x的图象关于y轴对称，观察图象(如图所示)知1x0，即x(1,0)也可把原不等式化为后作图答案(1,0)9设f(x)表示x6和2x24x6中较小者，则函数f(x)的最大值是_解析在同一坐标系中，作出yx6和y2x24x6的图象如图所示，可观察出当x0时函数f(x)取得最大值6.答案610.已知函数f(x)=()x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称，令h(x)=g(1-|x|)，则关于h(x)有下列命题：h(x)的图象关于原点对称；h(x)为偶函数；h(x)的最小值为0；h(x)在(0，1)上为减函数.其中正确命题的序号为_.(将你认为正确的命题的序号都填上)解析 g(x)= x,h(x)= (1-|x|),h(x)= 得函数h(x)的大致图象如图，故正确命题序号为.答案 三、解答题11讨论方程|1x|kx的实数根的个数解设y|1x|，ykx，则方程的实根的个数就是函数y|1x|的图象与ykx的图象交点的个数由右边图象可知：当1k0时，方程没有实数根；当k0或k1或k1时，方程只有一个实数根；当0k1时，方程有两个不相等的实数根12设函数f(x)x的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)(1)求g(x)的解析式；(2)若直线ym与C2只有一个交点，求m的值和交点坐标解析(1)设点P(x，y)是C2上的任意一点，则P(x，y)关于点A(2,1)对称的点为P(4x,2y)，代入f(x)x，可得2y4x，即yx2，g(x)x2.(2)由消去y得x2(m6)x4m90，(m6)24(4m9)，直线ym与C2只有一个交点，0，解得m0或m4.当m0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m4时，经检验合理，交点为(5,4)13当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，求a的取值范围解 设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1,2) 时，不等式(x1)2logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1,2)上的图象在f2(x)logax的下方即可当0a1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，loga21，1a2.a的取值范围是(1,214已知函数f(x)x|mx|(xR)，且f(4)0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)0的解集；(5)求集合Mm|使方程f(x)m有三个不相等的实根解(1)f(4)0，4|m4|0，即m4.(2)f(x)x|mx|x|4x|函数f(x)的图象如图：由图象知f(x)有两个零点(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为2,4(4)从图象上观察可知：不等式f(x)0的解集为：x|0x4(5)由图象可知若yf(x)与ym的图象有三个不同的交点，则0m4，集合Mm|0m4