2022-2023学年高二数学下学期期中试题(奥赛)一、单选题1设，若复数（是虚数单位）的实部为，则a的值为（ ）A B C1 D-12设向量，若，则角（ ）A B C D3“”是“直线(m+1)x+3my+2=0与直线(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的（ ）A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件4圆的圆心极坐标是（ ）A B. C D5若，其中，则（ ）A B C D6命题“，使得”的否定是（ ）A B C D7焦点为（0,6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A B C D8在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑若一个鳖臑的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为2的等腰直角三角形(如图所示)，则该鳖臑的表面积为（ ）A8BCD4十9若曲线与曲线存在公切线，则的（ ）A最大值为 B最小值为 C最小值为 D最大值为10如图正方体的棱长为1，线段上有两个动点且，则下列结论错误的是（ ）A与所成角为 B三棱锥的体积为定值CD二面角是定值.11过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线及其准线从上到下依次交于点，令，则当时，的值为（ ）A4 B5 C6 D712已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A B C D二、填空题13已知复数，其中为虚数单位，那么= 14已知命题：在平面直角坐标系中，的顶点和，顶点B在椭圆上，椭圆的离心率是e，则，类比上述命题有：在平面直角坐标系中，的顶点和，顶点B在双曲线上，双曲线的离心率是e，则 15已知四面体四个顶点都在球的球面上，若 ，且，则球的表面积为_16已知直线l：4x-3y+8=0，若p是抛物线y2=4x上的动点，则点p到直线l和它到y轴的距离之和的最小值为_三、解答题17（本题10分）已知直线在直角坐标系中的参数方程为为参数， 为倾斜角)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为.(1)写出曲线的直角坐标方程；(2)点，若直线与曲线交于两点，求使为定值的值.18已知命题：方程表示椭圆，命. （1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若为真，为真，求实数的取值范围.19已知圆，直线， .（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；（2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.20如图，在平面四边形中，等边三角形，以为折痕将折起，使得 （1）设为的中点，求证：（2）若与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值21如图，椭圆，点在短轴上，且.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.22设函数.若曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.1C 2B 3B 4D 5B 6C 7B 8C 9D 10A 11B 12A131 14 15 16.17（1）cos24cos=0，22cos24cos=0，x2+y2x24x=0，即y2=4x 4分（2）把为（为参数，为倾斜角）代入y2=4x得：sin2t24cost4a=0， 6分 8分当a=2时，为定值 10分18（1）命题为真，当时，； 2分当时，不等式恒成立.4分综上知，.6分（2）若为真，则且 8分若为真，为真，为假，为真.10分.12分19证明：（1）圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离.所以直线与圆相交，即直线与圆总有两个不同的交点；5分（2）设中点为，因为直线恒过定点，6分当直线的斜率存在时， ，又，化简得.9分当直线的斜率不存在时， ，此时中点为，也满足上述方程.10分所以的轨迹方程是，11分它是一个以为圆心，以为半径的圆.12分20证明：（1）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面2分又平面，所以在等边中，因为为的中点，所以4分因为，所以平面5分（2）解：由（1）知平面，所以即为与平面所成角，于是在直角中，以为坐标原点，分别以，所在的方向作为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设等边的边长为，则，.设平面的一个法向量为，则，即，令，则，于是.7分设平面的一个法向量为，则，即，解得，令，则，于是9分所以.11分由题意知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为12分21（1）由已知可得，点的坐标分别为，又点的坐标为，且，即，解得，所以椭圆的方程为.因为，所以离心率.5分（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，的坐标分别为，联立得，其判别式，所以，7分从而， 9分所以，当时，即为定值，11分当直线斜率不存在时，直线即为直线，此时，故存在常数，使得为定值.12分22 （1）函数定义域为.得， ，即所以.所以， .函数的单调递减区间是，单调递增区间是.5分（2）由题得函数对任意恒成立，即不等式对任意恒成立.又，当即恒成立时，函数递减，设，则，所以，即，符合题意；7分当时， 恒成立，此时函数单调递增.于是不等式对任意恒成立，不符合题意；8分当时，设，则 ；9分当时， ，此时单调递增， ，故当时，函数递增.于是当时, 成立，不符合题意；11分综上所述，实数的取值范围为： .12分