第三章数系的扩充与复数 章末复习最新考纲考情考向分析1.理解复数的基本概念2.理解复数相等的充要条件3.了解复数的代数表示及其几何意义4.能进行复数代数形式的四则运算5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.本节主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思想一般以选择题、填空题形式出现，难度为低档.1复数的有关概念(1)定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类abi为实数b0abi为虚数b0abi为纯虚数a0且b0(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac且bd0(a，b，c，dR)(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面在复平面内x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数(5)复数的模向量的长度叫做复数zabi的模(或绝对值)，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3复数的运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR.加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)(3)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.4共轭复数的性质(1)zR.(2)z.(3)任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，若z，则z是实数(4)共轭复数对应的点关于实轴对称思考辨析 判断正误 1.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) 2.原点是实轴与虚轴的交点.( ) 3.方程x2x10没有解.( ) 答案 错 对 错题型探究类型一复数的概念 例1已知复数za2a6i(aR)，分别求出满足下列条件的实数a的值：(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.(1) 解由a22a150且a240， 得a5或a3， 当a5或a3时，z为实数. (2)解由a22a150且a240， 当a5且a3且a2时，z是虚数. (3)解由a2a60，且a22a150， 且a240，得a3时，z0. 引申探究 本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由. 解由a2a60，且a22a150，且a240，得a无解， 不存在实数a，使z为纯虚数. 跟踪训练1复数zlog3(x23x3)ilog2(x3)，当x为何实数时z为虚数解：因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以解得x且x4.所以当x且x4时，z为虚数类型二复数的四则运算例2计算：2 012；解原式1 006i(i)1 00601i.跟踪训练2计算：(i)547.解(i)547i()5(1i)22(1i)2i716(1i)i(161)i.类型三复数问题实数化思想例3已知复数z12，i，并且|z|2，|zz1|zz2|，求z.解设zabi(a，bR)，z12，i，z22i.|z|2，则2.|zz1|zz2|，即|a2bi|a(b2)i|，由得或z22i或z22i.跟踪训练3已知z是复数，z3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)求的模解：2i，.类型四复数的几何意义例4设复数z满足|z|1，求|z(34i)|的最值解由复数的几何意义知，|z|1表示复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z(34i)|的几何意义是求此圆上的点到点C(3,4)的距离的最大值与最小值如图，易知|z(34i)|max|AC|OC|116，|z(34i)|min|BC|OC|14.跟踪训练3若|z1|2，则|z3i1|的最小值为_. 解析因为|z1|2，所以复数z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上.|z3i1|表示复数z在复平面内对应的点到点(1,3)的距离， 因此，距离的最小值为1.达标检测1复数z(aR)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于()A2 B1 C1 D2答案D解析z在复平面内对应的点在虚轴上，所以2a0，即a2.2已知f(x)x31，设i是虚数单位，则复数的虚部是()A1 B1 Ci D0答案B解析f(i)i31i1，1i，虚部是1.3已知2ai，bi(a，bR)是实系数一元二次方程x2pxq0的两根，则p，q的值为()Ap4，q5 Bp4，q5Cp4，q5 Dp4，q5答案A解析由条件知2ai，bi是共轭复数，则a1，b2，即实系数一元二次方程x2pxq0的两个根是2i，所以p(2i)(2i)4，q(2i)(2i)5.4.设复数z和它的共轭复数满足4z23i，求复数z.解设zabi(a，bR).因为4z23i，所以2z(2z2)3i.又2z22(abi)2(abi)4a，整体代入上式，得2z4a3i.所以zi.根据复数相等的充要条件， 得解得所以zi.高考对本章考查的重点1对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念2对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数最后整理成abi(a，bR)的结构形式3对复数几何意义的考查在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义求解复数，往往设出复数的代数形式，将复数问题实数化.