DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列第6讲直角三角形边角关系一、 导入二、 知识点回顾1锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是： (1) 正弦定义：A的正弦=；（2）余弦的定义：A的余弦= ,（3）正切的定义：A的正切=这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：（1）锐角A必须在直角三角形中，且C=900； （2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系2、锐角三角函数关系： (1) 互为余角的三角函数关系若A+B=90，则sinA=cosB,cosA=sinB.即： sin（90A）=cosA， cos（90A）=sin A tan（90A）= cotA cot（90A）=tanA (2) 同角的三角函数关系 平方关系：sin2 A+cos2A=l 倒数关系：tanAcotA=1 商数关系： 3、特殊角的三角函数： 00300450600sinA0cosA1tanA014.三角函数的大小比较 (1) 同名三角函数的大小比较正弦、正切是增函数三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小余弦、余切是减函数三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。 (2) 异名三角函数的大小比较tanASinA，由定义，知tanA=，sinA=；因为bc，所以tanAsinAcotA cosA由定义，知cosA=，cotA=；因为 ac，所以cotAcosA若0 A45，则cosAsinA，cotAtanA；若45A90，则cosAsinA，cotAtanA5.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图）6.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为（如图）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。7.方向角：相对于某一正方向的水平角（如图） 北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；南偏本等其他方向角类似。8、坡角与坡度:坡度：坡面与水平面所成角的度数（如图，角为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图，为坡比）注：坡面的铅直高度h与水平宽度的比为坡度（或坡比），用字母i表示，即i= ，坡面与水平夹角叫 坡角 ，即坡度等于坡角的正切（tan= i ）。工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，坡面的铅直高度h与水平宽度的比为坡度（或坡比），坡度是坡角的正切，坡度越大，坡面越陡三、 专题讲解 【例1】计算 (1) (2) (3) ，其中； 解：1、设x=()-1+(sin73)0+tan21tan69，求的值2、+.（sin2113-tan21）0-【例2】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，ABCF，F=ACB=90, E=45,A=60,AC=10,试求CD的长【答案】 解：过点B作BMFD于点M在ACB中，ACB=90, A=60,AC=10,ABC=30, BC=AC tan60=10,ABCF，BCM=30在EFD中，F=90, E=45,EDF=45,综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得=36，然后沿河岸走50米到达N点，测得=72。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.（参考数据：sin 360.59，cos 360.81，tan360.73，sin 720.95，cos 720.31，tan723.08） 【答案】解：过点F作FGEM交CD于G. ABCDEFMNR则MGEF20米. FGN36.GFNFGN723636.FGNGFN，FNGN502030（米）.在RtFNR中，FRFNsin30sin72300.9529（米）.【例3】中华人民共和国道路交通管理条例规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60的A点行驶到北偏西30的B点，所用时间为15秒（1）试求该车从A点到B的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速（1）要求该车从A点到B点的速度只需求出AB的距离，在OAC中，OC=25米OAC=90-60=30，OA=2CO=50米由勾股定理得CA=25（米）在OBC中,BOC=30BC=OB.（2BC）2=BC2+252BC=（米）AB=AC-BC=25-=（米）从A到B的速度为1.5=（米/秒）（2）米/秒69.3千米/时69.3千米/时70千米/时该车没有超过限速【点评】此题应用了直角三角形中30角对的直角边是斜边的一半及勾股定理，也是几何与代数的综合应用 如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水答道.为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离.一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5方向，前行1200m,到达点Q处，测得A位于北偏西49方向，B位于南偏西41方向.（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A，B间的距离.（参考数据：cos410.75）【答案】(1)B位于P点南偏东24.5方向,BPQ=65.5,又B位于Q点南偏西41方向, PQB=49, PBQ=65.5, PQ=BQ(等角对等边),(2)点P处测得A在正北方向,在RtAPQ中,AQ=1600,由(1)得PQ=BQ=1200，在点Q处，测得A位于北偏西49方向，B位于南偏西41方向，AQB=90，在RtABQ中，AB=（m）.ACDBEFG【例4】.（2011山东德州20,10分）某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为测得A，B之间的距离为4米，试求建筑物CD的高度ACDBEFG【答案】解：设建筑物CD与EF的延长线交于点G，DG=x米 1分在中,，即 2分在中，即 3分， 5分 6分解方程得：=19.2 8分 答：建筑物高为20.4米 10分（2011江苏宿迁,23,10分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度（取1.732，结果精确到1m）（第23题）【答案】解：设CExm，则由题意可知BExm，AE(x100)m 在RtAEC中，tanCAE，即tan30，3x(x100)解得x5050136.6CDCEED(136.61.5)138.1138(m)答：该建筑物的高度约为138m【例5】（2011四川凉山州，23，8分）在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，坝高10m，迎水坡面的坡度，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面的坡度进行修改，修改后的迎水坡面的坡度。（1） 求原方案中此大坝迎水坡的长（结果保留根号）（2） 如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿方向拓宽2.7m，求坝顶将会沿方向加宽多少米？ABCED23题图【答案】解：过点作于。 在中，且。 ， 过点作于。 在中，且。 ， ABCMDGFEN 如图，延长至点，至点，连接，方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变。 。来源:Zxxk.Com即 。 答：坝底将会沿方向加宽。如图，某县为加固长90米，高5米，坝顶宽为4米，迎水坡和背水坡的坡度都是1：1的横断面是梯形的防洪大坝要将大坝加高1米，背水坡坡度改为1：1.5已知坝顶宽不变（1）求大坝横截面面积增加多少平方米？（2）要在规定时间内完成此项工程如果甲队单独做将拖延10天完成，乙队单独做将拖延6天完成现在甲队单独工作2天后，乙队加入一起工作，结果提前4天完成求原来规定多少天完成和每天完成的土方数？ 四、 巩固练习：（1） 填空1、（2011浙江衢州，13,4分）在一次夏令营活动中，小明同学从营地出发，要到地的北偏东60方向的处，他先沿正东方向走了200m到达地，再沿北偏东30方向走，恰能到达目的地(如图)，那么，由此可知，两地相距 m. （第1题）【答案】2002、如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则ABC+DFE=_（2） 选择3、（2011四川绵阳10，3）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角为45，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角为30.她们又测出A、B两点的距离为30米。假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则 可计算出塔高约为(结果精确到0.01，参考数据：=1.414，=1.73)A.36.21 米 B.37. 71 米 C.40. 98 米 D.42.48 米【答案】D4、如图28221，在ABC中,C=90,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且c