第05讲 长方形、正方形的面积教学目标l 熟悉掌握基本图形面积的求法。l 熟悉运用分解、平移、合并等技巧成基本图形，利用长方形、正方形面积计算公式求解。l 能够分析图形的特点，提高几何图形的观察能力和思维转换能力。知识梳理 一、基本公式 长方形的面积=长宽 正方形的面积=边长边长掌握并能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。 但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。二、方法技巧 对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的面积。对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法分解、平移、合并等技巧成基本图形，利用长方形、正方形面积计算的公式求解。 典例分析 考点一：分解法例1、把一张长4米、宽3米的长方形木板，锯成一个面积最大的正方形木板，这个正方形木板的面积是多少平方米？【解析】要使锯成的正方形木板面积最大，就要使它的边长最长，那么只能用原来长方形的宽为边长，即正方形的边长为3米，正方形的面积为33=9平方米。例2、已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大40平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？ 【解析】从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A和B的面积相等。因此，用40平方厘米减去阴影部分的面积，再除以2就能得到长方形A和B的面积，再用A或B的面积除以2就是小正方形的边长。求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了例3、求下面图形的面积。（单位：厘米） 【解析】这是一个不规则图形，不能直接求出面积，因此需要转换一下，画一条辅助线，将其分解成两个长方形如右图。从右图可以看出左边长方形的长为4厘米，宽为2厘米，面积为42=8平方厘米。右边长方形长为3厘米，宽为1厘米，面积为31=3平方厘米。故整个图形面积为8+3=11平方厘米例4、下图中大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形的面积比小正方形多96平方厘米。大正方形和小正方形的面积各是多少？ 【解析】如下图，把大正方形比小正方形多出的96平方厘米的图形分成一个蓝色的正方形和两个同样的灰色长方形。可以求出蓝色正方形的面积为：44=16（平方厘米）；则每个小长方形的面积为：（96-16）2=40（平方厘米）；每个小长方形的长即所求小正方形图形的边长为：404=10（厘米）。所以，所求小正方形的面积为：1010=100（平方厘米）；所求大正方形的面积为：（10+4）（10+4）=196（平方厘米）考点二：平移法例1、已知两相同的长方形ABCD和DFEG的长是6，求阴影部分的面积 【解析】因为长方形ABCD和DFEG相同，所以对角线FD和AC将两个长方形分成的4部分也相同，将DC右侧的阴影部分移到图形的左上角，则阴影部分的面积就是正方形HGDC的面积即 66=36例2、把20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形的面积相差40平方分米，大正方形的面积是多少平方分米？【解析】我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。两个正方形的面积差40平方分米就是图中的A和B两部分，如图。如果把B移到原来小正方形的上面，不难看出，A和B正好组成一个长方形，此长方形的面积是40平方分米，长20分米，宽是4020=2（分米），即大、小两个正方形的边长相差2分米。因此，大正方形的边长就是（20+2）2=11（分米），面积是1111=121（平方分米）例3、有一块菜地长16米，宽8米。菜地中间留了2条宽2米的路，把菜地平均分成了4块，每一块地的面积是多少？ 【解析】解法一：因为两条小路把把菜地平均分成了4快，所以每一小块长方形菜地的长为：（16-2）2=7（米）；宽为：（8-2）2=3（米）；面积为：73=21（平方米）解法二：如右图，假设把两条小路平移到菜地的上方和左方，路的面积和剩下菜地的面积都不会发生改变。去掉小路，剩下菜地面积为：（16-2）（8-2）=84（平方米），每一小块菜地面积为：844=21（平方米）考点三：合并法例1、一个正方形中套着一个长方形。已知正方形的边长是16分米，长方形4个角的顶点恰好把正方形四条边都分成两段，其中长的一段是短的3倍。阴影部分的面积是多少？ 【解析】如右图，长方形把正方形中原阴影部分分成了4个等腰直角三角形，正好可以拼成大、小两个正方形。观察上图，结合题目已知条件可得，拼成的两个正方形的边长之和就是原正方形的边长16分米；拼成的大正方形的边长是小正方形边长的3倍。由和倍问题的数量关系式，可以求出：拼得的较小正方形的边长为：16（3+1）=4（分米）；较大正方形的边长为43=12（分米）。所以，原图中阴影部分面积为：44+1212=160（平方分米）例2、一个长方形与一个正方形部分重合（如图），求两块阴影部分的面积相差多少？(单位：厘米) 【解析】可以看出阴影部分都是不规则图形，但是各自合并加一个空白的重叠部分就是一个基本规则图形。记大阴影部分面积为,小阴影部分面积为,空白重叠部分为。-=(+)-(+)=610-55=35平方厘米 实战演练 课堂狙击1、将一块长3米，宽2米的长方形布剪成一块面积最大的正方形布，剩下部分的面积是多少平方米？【解析】要使剪成的正方形布面积最大，就要使它的边长最长，那么只能用原来长方形的宽为边长，即正方形的边长为2米，正方形的面积为22=4平方米，剩下布的面积就是长方形面积减去正方形面积=23-4=2平方米2、计算下图的面积。 30-20=10 【解析】这是一个不规则图形，不能直接求出面积，因此需要转换一下，画一条辅助线，将其分解成两个长方形如右图。从右图可以看出左边长方形的长为4厘米，宽为2厘米，面积为42=8平方厘米。右边长方形长为3厘米，宽为1厘米，面积为31=3平方厘米。故整个图形面积为8+3=11平方厘米3、一个边长为8厘米的正方形，依次连接4边中点得到第二个正方形，这样继续下去可以得到第三个、第四个、求第四个正方形的面积。 【解析】如下图，连接任意正方形四边中点所得的新正方形的面积与剩下四个三角形的面积之和相等，即新正方形的面积正好是是原正方形面积的一半。题中原正方形面积为：88=64（平方厘米）。所以，第四个正方形的面积为：64222=8（平方厘米）4、长方形ABCD周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这四个正方形的面积的和是68平方米，求长方形ABCD的面积 【解析】如图，EF将向右延长，HG向上延长，交于G点，那么正方形EBIG 的边长等于长方形ABCD周长一半，即8厘米，面积为64平方厘米。 长方形ABCD与长方形FDHG的长和宽是相等的，故面积相等。而正方形ADFE与CDHI 的面积之和，等于题中已给的四个正方形面积和的一半，即68234平方厘米。643430平方厘米应等于长方形ABCD面积的2倍。所以 ABCD的面积是30215平方厘米。5、正方形ABCD的边长4厘米，求长方形EFGD的面积 【解析】连接AG，三角形AGD面积=ADCD=DGFG,故其面积既是正方形ABCD面积的一半，又是长方形FGDE面积的一半。所以长方形EFGD的面积与正方形ABCD面积相等为16平方厘米。6、一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。 【解析】因为AECE=6，DEEB=35，把两个式子相乘AECEDEEB=356，而CEEB=14，所以AEDE=35614=15。 课后反击1、下图是一个养鸡专业户用一段长24米的篱笆围成一个长方 形的养鸡场，其中一面利用墙，求占地面积有多大？ 【解析】根据题意，因为一面靠墙，所以两条长加上一条宽等于24米，宽是6米，所以长是（24-6）2=9米。因此占地面积=69=54平方米2、三角形EBC的面积是40平方厘米，且阴影部分面积比三角 形EFG的面积大10平方厘米。求平行四边形ABCD的面积。 【解析】阴影部分面积之和无法求出，必须力辟蹊径。阴影部分与三角形EFG各自加一个空白的梯形GFCB就是一个平行四边形ABCD，一个三角形EBC。记阴影部分面积之和为,三角形EFG面积为,梯形面积为。-=(+)-(+)=平行四边形ABCD的面积-三角形EBC=10平方厘米。平行四边形面ABCD=10+40=50平方厘米3、如下图，一块正方形玉米田，边长是9米。中间有两条1 米宽的小路。求种着玉米的土地的面积(图中阴影部分的面积) 8 8【解析】平移下就可以清楚地看到，玉米种植地就是阴影部分的面积，阴影部分边长均为8，故阴影部分面积为88=64平方米4、长方形草地ABCD被分为面积相等的甲、乙、丙和丁四份（如右图），其中图形甲的长和宽的比是a：b=2：1，其中图形乙的长和宽的比是多少？ 【解析】假设甲的长为2，宽为1，则甲的面积就是：21=2，长方形ABCD的面积：42=8，则DC=82=4，乙的长：4-1=3，乙的宽=23= ，则乙的长和宽的比是3： =9：2直击赛场 1、如下图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是4，CED的面积是6 。问：四边形ABEF的面积是多少？ 【解析】如下图，连结BF。则BDF与CFD面积相等，减去共同的部分DEF，可得BEF与CED面积相等，等于6，因为SBDESCDE=SBEFSDEF=64=, SBCE=SCDE=6=9四边形ABEF的面积等于SABD-SDEF =SBDC-SDEF =SBCE+SCDE-SDEF=9+6-4=11重点回顾 分解、平移、合并三种方法的运用名师点拨 对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的面积。对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法分解、平移、合并等技巧成基本图形，利用长方形、正方形面积计算的公式求解。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是