本系列共 15 讲第九讲“牛吃草”问题.文档贡献者： 与 你 的 缘有这样的问题，如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供 27头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周。那么它可供 21 头牛吃几周？ 这类问题称为“牛吃草”问题。 解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。草的总量是由两部分组成的 ：（1）某个时间期限前草场上原有的草量；（2）这个时间期限后草 场每天（周）生长而新增的草量。因此，必须设法找出这两个量来 。下面就用开头的题目为例进行分析。（见下图）从上面的线段图可以看出 23 头牛 9 周的总草量比 27 头牛 6 周的总草量多，多出部分相当于 3 周新生长的草量。为了求出一周新 生长的草量，就要进行转化。27 头牛 6 周吃草量相当于 276=162 头牛一周吃草量（或一头牛吃 162 周 ）。23 头牛 9 周吃草量相当于239=207 头牛一周吃草量（或一头牛吃 207 周）。这样一来可以认 为 每周新生长的草量相当于（207162）（96）=15 头牛一周的 吃草量。需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用 27 头牛6 周的总吃草量减去 6 周新生长的草量（即 156=90 头牛吃一周的 草量）即为牧场原有的草量。所以牧场上原有草量为 266156=72 头牛一周的吃草量（或者为 239159=72）。牧场上的草 21 头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21 头牛分成两部分。一部分看成专吃牧场上原有的草，另一部分看 成专吃新生长的草。但是新生的草只能维持 15 头牛的吃草量，且 始终保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够 15 头 牛 吃 一 周 ）。 故分出 15 头牛吃新生长的草，另一部分 2115=6 头牛去吃原有的 草。所以牧场上的草够吃 726=12 周，也就是这个牧场上的草够 21 头牛吃 12 周。例 2：一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果 10 人淘水，3 小时淘完；如 5 人淘水 8 小时淘完。如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？分析与解答：这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水 的延长而增加。所以总水量是个变量。而单位时间内漏进船的水的 增长量是不变的。船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水 量）也是不变的量。对于这个问题我们换一个角度进行分析。如果设每个人每小时的淘水量为“1 个单位”，则船内原有水 量与 3 小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量时间人 数 ， 即 1310=30。船内原有水量与 8 小时漏水量之和为 158=40。 每小时的漏水量等于 8 小时与 3 小时总水量之差时间差，即（4030）（83）=2（即每小时漏进水量为 2 个单位，相当于 每小时 2 人的淘水量）。船内原有的水量等于 10 人 3 小时淘出的总水量3 小时漏进 水量，3 小时漏进水量相当于 32=6 人 1 小时淘水量。所以船内原 有水量为 3023=24。如果这些水（24 个单位）要 2 小时淘完，则需 242=12 人 。 但与此同时，每小时的漏进水量又要安排 2 人淘出，因此共需要 122=14 人。从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必 须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量。有 了这两个量，问题就容易解决了。例 3：12 头牛 28 天可以吃完 10 公亩牧场上全部牧草，21 头牛 63 天可以吃完 30 公亩牧场上全部牧草。多少头牛 126 天可以吃完 72 公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场 每天生长草量相等）？分析：解量的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头 牛吃一天，一公亩原有的草量可供几头牛吃一天。12 头牛 28 天吃完 10 公亩牧场上的牧草，相当于 1 公亩原来 的牧草加上 28 天新生产的草可供 33.6 头牛吃一天（122810=33.6）。21 头牛 63 天吃完 30 公亩牧场上的牧草，相当于 1 公亩原有 的草加 上 63 天新生 长的草可供 44.1 头牛吃 一天（ 632130=44.1）。1 公亩一天新生长的牧草可供 0.3 头牛吃一天，即： (44.133.6)(6328) = 0.3（头）1 公亩原有的牧草可供 25.2 头牛吃一天，即：33.60.328=25.2（头）72 公亩原有牧草可供 14.4 头牛吃 126 天，即：7225.2126=14.4（头）72 公亩每天新生长的草量可供 21.6 头牛吃一天，即：720.3=21.6（头）所以 72 公亩牧场上的牧草可供 36（=14.421.6）头牛吃 126 天，问题得解。解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？（632130122810）（6328）=0.3（头） 一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？1228100.328=25.2（头）72 公亩的牧草可供多少头牛吃 126 天？7225.2126720.3= 36(头)例 4：一块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供 16 头牛 吃 20 天，或者供 80 只头吃 12 天。如果一头牛一天的吃草量等于 4 只羊一天的吃草量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？ 分析：由于 1 头牛每天的吃草量等于 4 只羊每天的吃草量，故60 只羊每天的吃草量和 15 头牛每天的吃草量相等，80 只羊每天吃 草量与 20 头牛每天吃草量相等。解：60 只羊每天吃草量相当于多少头牛每天的吃草量？604=15（头）草地原有草量与 20 天新生长草量可供多少头牛吃一天？1620=320（天）80 只羊 12 天的吃草量可供多少头牛吃一天？80412=240（头） 每天新生长的草量够多少头牛吃一天？（320240）（2012）=10（头） 原有草量可够多少头牛吃一天？3202010=120（头）原有草量可供 10 头牛与 60 只羊吃多少天？120（6041010）=8（天）例 5：一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库。5 台抽水机连 续 20 天可抽干，6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干。若要求 6 天 抽干，需要多少台同样的抽水机？解：水库原有的水与 20 天流入水可供多少台抽水机抽 1 天？205=100（台）水库原有水与 15 天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？615=90（台）每天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？（10090）（2015）=2（台） 原有的水可供多少台抽水机抽 1 天？100202=60（台）若 6 天抽完，共需抽水机多少台？6062=12（台）例 6：有三片草场，每亩原有草量相同，草的生长速度也相同。三 片草场的面积分别为 3 1 亩、10 亩和 24 亩。第一片草场可供 12 头3牛吃 4 周，第二片草场可供 21 头牛吃 9 周。问：第三片草场可供 多少头牛吃 18 周？用方程解：解：设每亩草场原有的草量为 a，每周每亩草场新生长草量为b。依题意第一片草场（ 3 1 亩）原有的草与 4 周新生长的草量之和为：3（3 1 ）a（43 1 ）b33每头牛每周的吃草量为（第一片草场 3 1 亩 ）：3 (3 1)+ 4 (3 1)(124)=10(a + 4b) = 5(a + 4b)(1)3 a3 b3 12 472第二片草场（10 亩）原有的草与 9 周生长出来的草为：10a(109)b每头牛每周的吃草量为：（第二片草场）a10 + (10 9)b(2)21 9由于每头牛每周吃草量相等，列方程为：b10a + (10 9)b = 5(a + 4 )(3)21 9725a=60ba=12b（表示 1 亩草场上原有草量是每周新生长草量的 12 倍）将 a=12b 代入（3）的两边得到每头牛每周吃草量为 10。9 b设第三片草场（24 亩）可供 x 头牛吃 18 周吃完，则由每头牛每周吃草量可列出方程为：b24a + b (18 24) = 10(4)18x9x=36答：第三片草场可供 36 头牛 18 周食用。这道题列方程时引入 a、b 两个辅助未知数，在解方程时不一 定要求出其数值，在本题中只需求出它们的比例关系即可。习题九1一场牧场长满草，每天牧草都均匀生长。这片牧场可供 10 头 牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天。问：可供 25 头牛吃多少 天？222 头牛吃 33 亩草地上的草，54 天可以吃完；17 头牛吃 28亩同样的草地上的草，84 天可以吃完。问：同样的牧草 40 亩可供多少头牛食用 24 天？（每亩草地原有草量相等，草生 长速度相等）3有一牧场，17 头牛 30 天可将草吃完；19 头牛则 24 天可以吃 完。现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再 吃两天便将草吃完。问：原来有多少头牛吃草（草均匀生长）？4现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用8 台抽水机 10 天可以抽干；用 6 台抽水机 20 天能抽干。问： 若要 5 天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？本系列共 15 讲第十讲列方程解应用题.文档贡献者： 与 你 的 缘列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，也就是列出方程，然后解出未知数的值。列方程 解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算。解这类应用题的 关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程。而 找出等量关系又在于熟练运用数量之间的各种已知条件。掌握了这 两点就能正确地列出方程。列方程解应用题的一般步骤是：（1）弄清题意，找出已知条件和所求问题；（2）依题意确定等量关系，设未知数 x；（3）根据等量关系列出方程；（4）解方程；（5）检验，写出答案。例 1：列方程，并求出方程的解。（1） 11 减去一个数，所得差与 1.35 加上 13 的和相等，求这36个数。解：设这个数为 x，则依题意有11 x=1.35 1336即11 x= 27 133206x=11 27 133206x= 320检验：把 x=3 代入原方程，左边= 3 2 320320= 3 31 与右边相等，60所以 x= 320是原方程的解。（2）某数的 1 比它的 21 倍少 11，求某数。28解：设某数为 x，依题意，有：21 x 1 x=1182即17 x=118