专题04 一元二次方程根的判别式的应用及根与系数的关系的应用（解析版）类型一 根的判别式的应用（1）利用判别式判断方程根的情况1（2022济源校级模拟）定义运算：mnmn2mn1例如：424224211则方程2x0的根的情况为（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D以上结论都不对思路引领： 已知等式利用题中的新定义化简，再利用根与系数的关系确定出方程解的情况即可解：根据题中的新定义化简得：2x2x24x10，b24ac（4）242（1）16+8240，方程有两个不相等的实数根故选：A总结提升： 此题考查了根的判别式，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键2（2022春平潭县期末）对于任意实数k，关于x的方程x22（k+5）x+2k2+4k+500的根的情况为（）A有两个相等的实数根B无实数根C有两个不相等的实数根D无法判定思路引领： 先计算根的判别式的值得到4（k3）2640，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况解：4（k+5）24（2k2+4k+50）4（k3）2640，方程无实数根故选：B总结提升： 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根（2）利用判别式求字母系数的值或取值范围3（2021春文登区期中）已知关于x的方程（k1）x2kx+20有两个实数解，求k的取值范围 思路引领： 根据二次项系数非零及根的判别式0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围解：关于x的方程（k1）x2kx+20有两个实数解，k10=(k)24(k1)20，且k0，解得：k87且k1，故答案为0k87且k1总结提升： 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键4（2018南通）若关于x的一元二次方程12x22mx4m+10有两个相等的实数根，则（m2）22m（m1）的值为 思路引领： 根据根的判别式即可求出答案解：由题意可知：4m22（14m）4m2+8m20，m2+2m=12，（m2）22m（m1）m22m+4=12+4=72，故答案为：72总结提升： 本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式的作用，本题属于基础题型（3）根据字母系数判断方程根的情况5（2022焦作模拟）在平面直角坐标系中，若直线y2x+m不经过第二象限，则关于x的方程x2+2x+m0的实数根的情况为（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法判断思路引领： 先根据一次函数的性质得到m0，再计算根的判别式的意义得到0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况解：直线y2x+m不经过第二象限，m0，224m44m0，方程有两个不相等的实数根故选：A总结提升： 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根也考查了一次函数的性质6（2022秋福鼎市期中）对于一元二次方程ax2+bx+c0（a0），下列说法：若ab+c0，则它有一根为1；若方程ax2+c0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c0必有两个不相等的实根；若c是方程ax2+bx+c0的一个根，则一定有ac+b+10成立；若b2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c0有两个不相等的实数根；其中正确的 思路引领： 先计算出根的判别式，再利用求根公式解方程可对进行判断；根据根的判别式的意义，由方程ax2+c0有两个不相等的实根得到4ac0，则可判断b24ac0，于是可对进行判断；由c是方程ax2+bx+c0的一个根得到ac2+bc+c0，只有c0时由ac+b+10，则可对进行判断；利用b2a+3c计算根的判别式得到4（a+c）2+5c20，则根据根的判别式的意义可对进行判断解：若ab+c0时，则ba+c，则b24ac（a+c）24ac（ac）2，x=b(ac)2a=(a+c)(ac)2a，解得x1=ca，x21，所以正确；若方程ax2+c0有两个不相等的实根，则4ac0，因为方程ax2+bx+c0的根的判别式b24ac0，所以方程ax2+bx+c0必有两个不相等的实根，所以正确；若c是方程ax2+bx+c0的一个根，则ac2+bc+c0，当c0时，ac+b+10，所以错误；若b2a+3c，则b24ac（2a+3c）24ac4a2+8ac+9c24（a+c）2+5c20，所以一元二次方程ax2+bx+c0有两个不相等的实数根，所以正确；故答案为：总结提升： 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根类型二 根与系数关系的应用（1）利用根与系数关系求代数式的值7（2022秋电白区期中）已知m、n是一元二次方程x2+x20220的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（）A2019B2020C2021D2022思路引领： 利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出m2+m2022，m+n1，再将其代入m2+2m+nm2+m+（m+n）中，即可求出结论解：m是一元二次方程x2+x20220的实数根，m2+m20220，m2+m2022m，n是一元二次方程x2+x20220的两个实数根，m+n1，m2+2m+nm2+m+（m+n）202212021故选：C总结提升： 本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于ba，两根之积等于ca”是解题的关键8（2021秋余干县校级月考）已知，是一元二次方程x22020x+10的两个实数根，则代数式（2020）（2020） 思路引领： 根据根与系数的关系即可得出+2020，1，将代数式（2020）（2020）展开，再将+2020，1代入其中即可得出结论解：，是一元二次方程x22020x+10的两个实数根，+2020，1，（2020）（2020）20202020+20202（+）2020+20202120202020+202021故答案为：1总结提升： 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为ba、两根之积为ca是解题的关键9（2001咸宁）已知x1，x2是方程x22x20的两实数根，则代数式x2x1+x1x2= 思路引领： 根据一元二次方程的根与系数的关系求得x1+x2=ba、x1x2=ca，然后将其代入由x2x1+x1x2变形后的代数式求值解：x1，x2是方程x22x20的两实数根，由韦达定理，得x1+x22，x1x22，x2x1+x1x2=(x1+x2)2x1x22=4224故答案是：4总结提升： 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法10（2022秋新田县期中）若x1，x2是方程x24x20200的两个实数根，则代数式x122x1+2x2的值等于（）A2026B2027C2028D2029思路引领： 根据一元二次方程根与系数的关系可知x1+x2=ba，x1x2=ca，将x122x1+2x2变形后得到2（x1+x2）x1x2，由此即可求解解：x1，x2是方程x24x20200的两个实数根，且a1，b4，c2020，x1+x2=ba=4，x1x2=ca=2020，x14x2，x122x1+2x2=x1(x12)+2x2，x1（4x22）+2x22x1x1x2+2x22（x1+x2）x1x2，2（x1+x2）x1x224（2020）2028，故选：C总结提升： 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键11（2022秋罗庄区校级月考）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c0的两个根分别是x1和x2，那么x1+x2=ba，x1x2=ca例如：方程2x2+3x50的两根分别是x1和x2，则x1+x2=ba=32，x1x2=ca=52请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题：（1）已知方程3x2711x的两根分别是x1和x2，则x1+x2113，x1x273；（2）已知方程x2+5x30的两根分别是x1和x2求x12+x22的值；求x125x2+1的值思路引领： （1）先把方程化为一般式，然后利用根与系数的关系求解；（2）利用根与系数的关系得到x1+x25，x1x23，利用完全平方公式得到x12+x22（x1+x2）22x1x2，然后利用整体代入的方法计算；先根据一元二次方程根的定义得到x125x1+3，则x125x2+1变形为5（x1+x2）+4，然后利用整体代入的方法计算解：（1）3x211x70，x1+x2=113，x1x2=73；故答案为：113，x73；（2）根据根与系数的关系得x1+x25，x1x23，x12+x22（x1+x2）22x1x2（5）22（3）31；x1为方程x2+5x30的根，x12+5x130，x125x1+3，x125x2+15x1+35x2+15（x1+x2）+45（5）+429总结提升： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2=ba，x1x2=ca（2）利用根与系数关系求待定系数的值或取值范围12（2022秋荔湾区校级期末）已知关于x的一元二次方程x24mx+3m20（m0）的一个根比另一个根大2，则m的值为（）A2Bm0C1D0思路引领： 设方程的两根分别为t，t+2，利用根与系数的关系得到t+t+24m，t（t+2）3m2，利用代入消元法得到（2m1）（2m+1）3m2，然后解关于m的方程得到满足条件的m的值解：设方程