高三立体几何测试一、填空1、正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AB中点，则异面直线DE与BD1所成角的大小为.分析：取CD中点F，则BF/DE.那么D1BF是异面直线DE与BD1所成的角（或补角）.设正方体的棱长为2，可求得：.在BFD1中，求得，所以异面直线DE与BD1所成角的大小为2、设A、B、C、D分别表示下列角的取值范围：（1）A是直线倾斜角的取值范围；（2）B是锐角；（3）C是直线与平面所成角的取值范围；（4）D是两异面直线所成角的取值范围.用“”把集合A、B、C、D连接起来得到.分析：直线倾斜角的范围是，锐角的范围是.由此：.3、如图是一正方体的平面展开图，在这个正方体中：（1）AF与CN所在的直线平行；（2）CN与DE所在的直线异面；（3）CN与BM成60角；（4）DE与BM所在的直线垂直.以上四个命题中正确的命题序号是；分析：将此展开图还原成正方体（如图）.可以看出：（2）、（3）、（4）是正确命题.BMFADECNABCDEFMN4、已知平面，直线.有下列命题：（1）；（2）（3）；（4）.其中正确的命题序号是.分析：立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点，基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及，要充分理解符号语言所体现的几何意义.（1）体现的是两平面平行的一个性质：若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一平面平行.（2）要注意的是直线可能在平面内.（3）注意到直线与平面之间的关系：若两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.（4）根据两平面平行的判定知，一个平面内两相交直线与另一个平面平行，两平面才平行.由此知：正确的命题是（1）与（3）.5、已知线段AB长为3，A、B两点到平面的距离分别为1与2，则AB所在直线与平面所成角的大小为；分析：要注意到点A、B是平面同侧还是在平面的两侧的情况.当A、B在平面的同侧时，AB所在直线与平面所成角大小为；当A、B在平面的两侧时，AB所在直线与平面所成角为.6、侧棱长为2cm，底面边长为3cm的正三棱锥的体积为_.7、如图，在体积为1的直三棱柱 中，求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）.命题立意 本题考查直线与平面所成角的大小.思路分析 本题可通过几何法找到直线在平面上的射影，利用直角三角形求出直线与平面所成角的大小.也可以利用空间向量，借助向量与向量所成的角进行求解.试题解析 解法一由题意可得体积, 连接 ，平面， 是直线与平面所成的角 ， ，则 ABCDEO8、若一正三棱锥的底面边长是，体积为，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的大小为；侧面与底面所成二面角的大小为；此三棱锥的侧面积为.分析：如图，设正三棱锥ABCD的高为.由题知：，则.设BC中点为E，顶点A在底面上的射影为O.注意三角形ADO中含有侧棱与底面所成角即与侧面底面所成二面角的平面角即.由底面是正三角形且边长为知，则.所以侧棱与底面所成角大小为，侧面与底面所成二面角大小为.由知，可求得侧面积为.求侧面积也可以利用面积射影定理，由侧面与底面所成二面角正切值为，则此二面角的余弦值为，正三棱锥各侧面与底面所成的二面角都相等，则，所以.9、三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清楚.外心：三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等（充要条件）；内心：三侧面与底面所成的二面角相等（充要条件）；垂心：相对的棱垂直（充要条件）或三侧棱两两垂直（充分条件）.举例三棱锥的“三侧棱与底面所成的角相等且底面是正三角形”是“三棱锥为正三棱锥”的（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.分析：三侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心，又底面是正三角形，则外心就是中心，知此三棱锥是正三棱锥.反之也成立，选C.10、ABCDA1B1C1D1是单位正方体，黑、白两只蚂蚁从点A出发以相同速度沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是，黑蚂蚁爬行的路线是，在爬行过程中它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线（其中）.设黑、白两只蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两个蚂蚁的距离是（）A、1；B、；C、；D、0.分析：注意到它们的运动规律，都是呈周期运动，运动周期为6.经过2007次运动，由知，它们运动后所停位置就是第3次运动后所停位置.则它们都到达C1点，所以这两蚂蚁之间的距离为0，选D.二、解答题：11、已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1DBC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30，求平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积. 解：连结BD，因为B1B平面ABCD，B1DBC，所以BCBD.在BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=.又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30，所以B1DB=30，于是BB1=BD=2.12、如图，在棱长为2的正方体中，分别是和 的中点，求异面直线与所成角的大小 (结果用反三角函数值表示）. 解：连接， ，且，是平行四边形，则， 异面直线与所成的角就是与所成的角. 由平面，得. 在中，则， . 异面直线与所成角的大小为13、正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，BC1与平面ACC1A1所成角为30.试求：（1）三棱柱ABCA1B1C1的体积；（2）点C到平面BAC1的距离.分析：（1）求三棱柱的体积，只要求出其高即可.由BC1与平面ACC1A1所成角为30，则要作出BC1在平面ACC1A1上的射影.取AC中点E，则BE，所以平面ACC1A1，则EC1是BC1在平面ACC1A1上的射影.有=30.由，知，所以.则三棱柱的体积V=.PABCDOE（2）若直接求点C到平面BAC1的距离，则需要作垂线、定垂足，比较麻烦.利用体积转化则比较简单.注意到三棱锥CABC1即为三棱锥C1ABC，其体积为，设C到平面BAC1的距离为，则.容易求得，所以点C到平面BAC1的距离为.14、在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）命题立意 本题考查四棱锥及其体积，直线与平面所成角，异面直线所成的角，或能正确建立空间直角坐标系，空间向量以及两个向量所成的角.思路分析 本题可利用四棱锥的体积公式求出体积，再利用几何法找平行关系，把求异面直线所成的角转化为求平面角的问题，利用余弦定理加以求解；也可以利用空间向量，借助向量与向量所成的角进行求解.试题解析 解答：（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO平面ABCD,得PBO是PB与平面ABCD所成的角, PBO=60.在RtAOB中BO=ABsin30=1, 由POBO,于是,PO=BOtan60=,而底面菱形的面积为2.四棱锥P-ABCD的体积V=2=2.（2）解法一以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.在RtAOB中OA=,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,0),B (1,0,0), D (1,0,0), P (0,0, ).E是PB的中点,则E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,).设的夹角为,有cos=,=arccos,异面直线DE与PA所成角的大小是arccos. 解法二取AB的中点F,连接EF、DF.由E是PB的中点,得EFPA，FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角)，在RtAOB中AO=ABcos30=OP，于是, 在等腰RtPOA中，PA=，则EF=.在正ABD和正PBD中,DE=DF=， cosFED=,异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.